Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На клетчатой доске 
расставили 
белых и 
черных ладей так, что ладьи разных цветов не бьют друг друга. При
каком наибольшем 
такое возможно?
Источники:
Подсказка 1!
1) Итак, нам нужно оценить возможное количество ладей. Так как мы знаем количество строк и столбцов, было бы логично оценить количество ладей через строки и столбцы, на которых они стоят. Ведь если в строке 1 стоят ладьи, и в столбцах 5 и 7, например, то ладей на больше чем 1*2 ( клетки пересечения столбцов и строк, где замечены ладьи). Пусть белые ладьи заняли a клеток и b столбцов...
Подсказка 2!
2) Ага, оценим белые через ab, а черные через оставшиеся столбцы на оставшиеся строчки, и подумаем, как n соотносится с этими оценками на количество ладей...
Подсказка 3!
3) Ну, конечно! n меньше, чем обе наших оценки. Теперь можно попробовать порасставлять ладей и понять, какую оценку мы хотим доказывать. А можно помедитировать над уравнением, и заметить, что если n меньше чем минимальная из оценок, то максимум n достигается, если обе оценки равны! Давайте доказывать, что максимум будет тогда, когда ab равняется оценке на черные ладьи. Чему же равно ab...
Подсказка 4!
4) Ага, k(k+1)! Тогда обе оценки равны, окажем, что это лучший расклад, и не забудем построить пример!
Пусть белые ладьи занимают 
строк (то есть нашлось ровно 
строк, в которых есть белые ладьи) и 
столбцов. Белая и чёрная
ладьи не могут стоять в одном столбце или одной строке, потому чёрные занимают не более 
строк и 
столбцов. Отсюда их количества не превышают соответственно 
и 
, при этом легко видеть, что
. Далее покажем, что минимум не превышает 
. Действительно, пусть, не умаляя
общности 
(иначе 
). Тогда 
(с уменьшением суммы уменьшается и
максимум произведения). То есть 
. В качестве примера заполним прямоугольник 
в левом верхнем
углу белыми ладьями, затем отразим доску относительно главной диагонали, а потом заполним тот же прямоугольник
чёрными.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
