Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На координатной плоскости рассматривается угол, образованный прямыми и , целиком лежащий в полуплоскости . Среди всех парабол вида , вписанных в данный угол, найдите ту параболу, которая принимает наименьшее значение в точке .
Источники:
Внимание
Условие этой задачи можно понимать по-разному:
Подсказка 1 по первому варианту
Вспомним, что означает с точки зрения уравнений, что парабола касается прямой, запишем эти условия в алгебраической форме. Получим некоторые условия, связывающие между собой коэффициенты квадратного трехчлена.
Подсказка 2 по первому варианту
Теперь, имея условие на коэффициенты трехчлена, останется только подставить в выражение для него x=2 и минимизировать получившуются величину.
Подсказка 1 по второму варианту
Условие, что парабола имеет вершину при x=2, можно записать алгебраически: это значит, что выделяя полный квадрат, мы получим скобку (х-2)^2.
Подсказка 2 по второму варианту
Далее получаем условие на коэффициенты трехчлена, связанные с тем, что искомая парабола касается двух прямых. Из этих условий коэффициенты определяются однозначно!
Пусть парабола касается обеих прямых и . Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .
Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Подставим в уравнение параболы значения и : получается выражение
Найдём, какое наименьшее значение принимает это выражение при условии .
Заметим, что , поскольку парабола лежит в верхней полуплоскости относительно оси , а значит, и . Поэтому мы можем применить неравенство Коши: , откуда . Значит, наименьшее значение равно 2 , причем оно достигается, когда . Перенося все слагаемые налево, получаем, что , откуда и . Подставляя в формулу и помня, что , получаем и .
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Принимались также решения, в которых условие понималось так, чтобы найти параболу, которая принимает своё наименьшее значение в точке . Решение задачи в этой трактовке приведено ниже.
_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
Пусть наша парабола имеет вершину в точке . Тогда ее уравнение выглядит так: для некоторых чисел и .
Касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, т.е. дискриминант этого квадратного уравнения равен 0 . Запишем это условие: .
Аналогично, касание с прямой означает, что квадратное уравнение имеет единственное решение, поэтому дискриминант этого квадратного уравнения также равен . Из этих двух равенств следует, что , поскольку оба этих выражения равны . Решая это уравнение относительно , получаем . Подставим это значение в формулу для и найдем . Таким образом, мы нашли уравнение искомой параболы:
в другой трактовке условия
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
По плоскости ползут три улитки. Каждая улитка движется со своей скоростью прямолинейно и равномерно. Известно, что в некоторые три момента времени все улитки оказывались на одной прямой. Могут ли улитки в какой-то момент времени оказаться в вершинах правильного треугольника?
Источники:
Подсказка 1
Как в геометрии, так и в других разделах математики, зачастую бывает удобно зафиксировать задачу набором переменных. Если мы хотим зафиксировать задачу здесь, то самым банальным набором будет функция движения каждой улитки. Пусть (x_i(t), y_i(t)) - положение улитки относительно времени. Какое тогда условие, при наличии направляющих векторов можно наложить на их координаты, если в некоторый момент времени эти три улитки были
Подсказка 2
Верно, что (x_2(t) - x_1(t))(y_3(t) - y_1(t)) = (x_3(t) - x_1(t))(y_2(t) - y_1(t)). Просто записали векторное произведение векторов от первой ко второй улитке и от первой к третьей. Что теперь можно понять, если у нас нашлось 3 значения таких t(то есть, три раза был момент, когда они все на 1 прямой)? А если подумать какой степени каждая из зависимостей x_i, y_i относительно t?
Подсказка 3
Зависимости x_i, y_i - линейный зависимости(так как каждая улитка движется по линии), а значит, уравнение выше - не выше второй степени. Однако, у него есть три различных корня. Что это значит тогда? Когда такое может быть?
Введем декартову систему координат, и пусть - координаты -й улитки в момент времени . Поскольку улитки движутся прямолинейно и равномерно, то и - линейные функции от времени . Рассмотрим векторы
направленные от первой улитки ко второй и третьей соответственно. Тогда условие принадлежности трех улиток одной прямой равносильно коллинеарности векторов и .
Это в свою очередь равносильно пропорциональности координат этих векторов:
Заметим, что это равенство представляет собой уравнение на переменную степени не выше 2. Нам известно, что у этого уравнения есть три различных корня. Но тогда это уравнение имеет тривиальный вид , поскольку в противном случае у него не может быть больше двух корней. Значит, это уравнение справедливо при любом , и улитки всегда находятся на одной прямой и не могут оказаться в вершинах ни одного треугольника.