Тема . ММО (Московская математическая олимпиада)
Последовательности и прогрессии на ММО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела ммо (московская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#73118

Найдите x   ,
 1000  если x = 4,x = 6
 1    2  и при любом натуральном n ≥ 3,  x
 n  — наименьшее составное число, большее 2x   − x  .
  n−1   n− 2

Показать ответ и решение

Запишем условие для n =3 :  x > 2⋅6 − 4 =8,
 3  откуда x = 9.
 3  Далее, x > 2⋅9− 6= 12 =⇒   x = 14,
 4                   4  затем x5 > 2⋅14− 9= 19 =⇒   x5 = 20.  Можно продолжить, а можно сразу выразить     n(n+3)
xn =  2  ,n ≥4.  Нетрудно видеть, что для n≥ 4  такое число всегда будет составным, поэтому остаётся показать, что для n ≥5  (заметим, что для n= 4  это не выполнено) сохраняется равенство 2⋅xn−1− xn−2+1 =xn

  (n− 1)(n+ 2)  (n − 2)(n +1)    n(n+ 3)
2⋅-----2-----− ----2-----+ 1= ---2--- ⇐ ⇒

2n2+ 2n− 4− n2+n +2+ 2= n2+ 3n  ⇐⇒   0= 0

Итак, мы проверили, что xn−1− xn− 2+1 =xn,n≥ 5,  при этом     n(n+3)
xn =  2  — составное, поэтому мы нашли нужную последовательность, остаётся посчитать

      1000⋅1003
x1000 =----2---= 501500
Ответ:

 501500

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!