Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела физтех
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51858

Решите систему

{ x2 +y2 ≤ 2;
  81x4− 18x2y2+ y4− 360x2− 40y2+ 400 =0.

Источники: Физтех-2014, 11.4 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Второе уравнение очень напоминает квадрат тройной суммы, но, к сожалению, им не является, однако можно написать его в таком виде

   2  2    2      2
(9x +y − 20)= (6xy)

Что эквивалентно

[ 9x2+ y2 − 20= 6xy        [ (3x − y)2 = 20      [ 3x − y =±2√5
  9x2+ y2 − 20= −6xy  ⇐⇒     (3x +y)2 = 20  ⇐⇒     3x +y =±2√5-

Остаётся разобрать 4 полученных случая. Например, если 3x− y =2√5  , то из первого неравенства

x2+ (3x − 2√5)2 ≤ 2 ⇐⇒  10x2− 12√5x+ 20 ≤2  ⇐ ⇒  (√10x− 3√2-)2 ≤0  ⇐⇒   x= √3-
                                                                        5

И     1√-
y =  5  . Остальные случаи точно также дают ровно одно решение, откуда получаем ответ.

Ответ:

 (−√3,√1),(− 3√-,−√1),(√ 3-,− 1√-),(√3,√1)
    5  5    5   5    5   5   5  5

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!