Задача №51338: Параметры на Физтехе — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Физтех

Параметры на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#51338

Найдите все значения параметра $b,$ для каждого из которых существует число $α,$ такое, что уравнение

2 x +(sinα +3cosα)x+b =0

имеет действительное решение.

Источники: Физтех-2011, 11.5 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

Это квадратное уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда его дискриминант неотрицателен:

2 (sinα +3cosα) − 4b≥ 0

2 (sin α+ 3cosα) ≥ 4b

Мы хотим чтобы для любого $b$ существовал $α$ , что равносильно

4b≤ max((sinα +3cosα)2)= maxf(α) α α

Используем формулу вспомогательного угла

√--( -1- -3- ) √-- ( -3-) sinα +3cosα= 10 √10sinα + √10cosα = 10sin α+ arcsin√10- =⇒

( ) f(α)= 10sin2 α +arcsin√3- ≤10 и равенство достигается, откуда 10

4b≤ 10 ⇐⇒ b≤ 5 2

Ответ:

$(−∞; 5] 2$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse