Задача №31592: Тригонометрия на Физтехе — Каталог задач по Олимпиадной математике — Школково

Тема . Физтех

Тригонометрия на Физтехе

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела физтех

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31592

Решите уравнение

1|| 1|| 2 2||cos2x+ 2||= sin x+ sinxsin5x.

Источники: Физтех-2015, 11.2 (см. olymp.mipt.ru)

Показать ответ и решение

2 sin x+sin xsin5x= sinx(sinx+ sin5x)= 2sinxsin3xcos2x= cos2x(cos2x− cos4x)

Пусть $t=cos2x$ .

2 |2t+1|= 4t(t− 2t +1)= −4t(2t+ 1)(t− 1)

Тогда либо $2t+ 1= 0$ , $t=cos2x= − 1 2$ и $x = 1 (± 2π+ 2πk) 2 3$ , либо $− 4t(t− 1)=±1$ .

Если $4t2− 4t− 1= 0$ , то $t= 1±√2 >− 1 2 2$ . Значит

2t+ 1= |2t+1|= −4t(2t+ 1)(t− 1)

1 =− 4t(t− 1)

4t2− 4t+1 =0

Противоречие.

Если $4t2− 4t+1= 0$ , то $1 t= 2$ и оно подходит. Значит $1( π ) x= 2 ± 3 + 2πk$ .

Ответ:

$1 (± π+ 2πk),k ∈ℤ 2 3$ , $1(±2π+ 2πn),n ∈ℤ 2 3$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse