Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Натуральные числа таковы, что делится на делится на делится на Найдите наименьшее возможное значение произведения
Источники:
Подсказка 1
Чтобы произведение abc было минимальным, какие простые в своем разложении они могут иметь?
Подсказка 2
Да, каждое из чисел не должно иметь других простых, кроме 2, 3 и 5(но не обязательно, что каждое из них есть). Тогда давайте разложим каждое из чисел a, b, c на простые множители! Какие неравенства можно написать, если внимательно посмотреть на условие задачи?
Подсказка 3
Да, пусть x₁, x₂, x₃ – степени вхождения двойки в a, b, c соответственно, тогда будет верным: x₁ + x₂ ≥ 9; x₂ + x₃ ≥ 14; x₁ + x₃ ≥ 19. Что нужно сделать, чтобы понять в какой степени двойка входит в произведение abc?
Подсказка 4
Верно, нужно сложить эти степени и поделить на 2! Таким образом abc кратно 2²¹(поскольку если мы просто сложим степени двойки, то получим (abc) ²). Так, а дальше осталось сделать то же самое с 3 и 5 и привести пример, что каждая оценка достигается! Но какой случай может вызвать трудности?
Подсказка 5
Ну, если получается нецелое число, то мы его просто округляем до ближайшего целого, это не сложно. А вот, если пример не получается подобрать? Например, в случае с пятеркой: Если сделать также как и с двойками, то получится, что y₁+y₂+y₃ ≥ 27, но при этом y₁+y₃ ≥ 30 и y₂ ≥ 0. Тогда, нужно строить пример для y₁+y₂+y₃ ≥ 30. (y₁, y₂, y₃ – степени вхождения пятёрки в числа a, b, c соответственно)
Чтобы произведение было минимальным, числа не должны иметь простых делителей, отличных от и
Пусть (показатели всех степеней — целые неотрицательные числа). Тогда
Рассмотрим отдельно делимость на и
Из того, что делится на делится на делится на следует, что
|
Складываем полученные неравенства и получаем:
Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём
Из того, что делится на делится на делится на следует, что
|
Складываем полученные неравенства и получаем:
Покажем, что значение достигается. Для этого возьмём
Из того, что делится на следует, что Заметим, что
может равнятся если, например,
Так как минимум каждой из трёх сумм не зависит от оставшихся, то и минимальное значение равно
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!