Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Ортогональной проекцией правильной треугольной пирамиды на некоторую плоскость является параллелограмм с острым углом . Найдите объём пирамиды, если площадь её боковой поверхности равна 54.
Пусть сторона основания пирамиды с вершиной равна , а боковое ребро равно . Для построения проекции достаточно рассмотреть две пары скрещивающихся ребер, например и , проекции которых являются сторонами параллелограмма
Пусть — общий перпендикуляр пары рёбер и , а — общий перпендикуляр скрещивающихся рёбер и . Плоскость проекции параллельна как , так и , поскольку ортогональной проекцией пирамиды является параллелограмм. Отрезки и проектируются на плоскость без изменения длины в высоты параллелограмма и , так как и обе перпендикулярны и будут параллельны друг другу, т.к. — параллелограмм. То есть не просто общий перпендикуляр и , но и общий перпендикуляр двух вышеописанных плоскостей. А значит ещё это и общий перпендикуляр для и
Поскольку пирамида правильная, . Следовательно,
В параллелограмме высоты, проведённые к смежным сторонам, равны — значит, параллелограмм является ромбом.
Пусть ребро наклонено к плоскости под углом , тогда ребро , которое перпендикулярно , наклонено под углом . Отсюда
Обозначим . Тогда .
Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами правильной треугольной пирамиды как высоту сечения :
откуда
Тогда синус острого угла пирамиды равен . Подставляя найденные выражения и данное в условии значение , получим , откуда (что невозможно) или
Площадь боковой поверхности пирамиды равна
Подставив и , найдём
Объём правильной пирамиды равен
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В конус вписан цилиндр объема 9. Плоскость верхнего основания этого цилиндра отсекает от исходного конуса усеченный конус объемом 63. Найдите объем исходного конуса.
Источники:
Подсказка 1
Запишем известные нам объёмы! В работе с усечённым конусом нам поможет формула, выражающая его объём через высоту и радиусы оснований. А чего нам не хватает для объёма искомого конуса?
Подсказка 2
Нам не хватает его высоты — она пока не фигурирует ни в одной из известных фигур. Зато у нас в обоих данных объёмах задействована высота усечённого конуса, которая дальше нам не очень нужна. Так выразим её из объёма цилиндра и подставим в объём усечённого конуса! Поработав с квадратным уравнением, мы отыщем отношение радиусов верхнего и нижнего оснований.
Подсказка 3
Отыскать высоту исходного конуса нам помогут подобные треугольники: рассмотрите осевое сечение этого конуса. Отношение радиусов поможет нам связать высоты исходного и усечённого конусов. Осталось немного повозиться с формулами, подставляя известные отношения, и задача убита!
Пусть высота и радиус исходного конуса равны и , а высота и радиус цилиндра равны и . Воспользуемся формулой для объема усеченного конуса: . Также мы знаем, что . Поделив соответствующие части равенств получаем
Решая квадратное уравнение, получаем корни и геометрический смысл имеет только положительный. , откуда получаем для исходного конуса:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В прямоугольном параллелепипеде с рёбрами и проведены два сечения – плоскостью, проходящей через диагональ , и плоскостью, проходящей через диагональ . Найдите наибольшее возможное значение суммы площадей поверхностей многогранников, на которые эти сечения разбивают данный параллелепипед.
Подсказка 1
Нарисуйте картинку и попробуйте понять: что точно, вне зависимости от положения сечений будет содержаться в искомой сумме? Можем ли мы как-то избежать попадания в эту сумму какой-то части исходного параллелепипеда? А сколько раз туда попадут части наших сечений?
Подсказка 2
Итак, получается, что как бы ни были расположены сечения, их площади дважды войдут в искомые площади поверхностей. Значит надо эти площади максимизировать!
Подсказка 3
Какой фигурой будет являться каждое сечение? Как площади сечений связаны с длинами диагоналей? Исследуйте, где должны быть расположены вершины параллелограмма-сечения, чтобы расстояние до диагонали параллелепипеда было наибольшим.
Подсказка 4
Осталось лишь посчитать все нужные длины, призвав на помощь теорему Пифагора. Будьте внимательны к арифметике и задача окажется убита!
Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед сечениями, равна сумме площади поверхности параллелепипеда и площадей внутренних поверхностей. Сумма площадей внутренних поверхностей равна удвоенной сумме площадей сечений.
Найдем наибольшую возможную площадь сечения, проходящего через диагональ произвольного параллелепипеда с ребрами . Сечением является параллелограмм , вершины которого лежат на противоположных рёбрах параллелепипеда. Площадь параллелограмма равна произведению длины диагонали на расстояние от точки до .
Рассмотрим проекцию параллелепипеда на плоскость, перпендикулярную диагонали . На рисунке видно, что расстояние от точки ломаной до точки , то есть до диагонали , наибольшее, если совпадает с одной из вершин или .
Значит, сечение проходит через одно из ребер параллелепипеда. Таким образом, наибольшую площадь имеет одно из диагональных сечений. Все эти сечения являются прямоугольниками. Найдем наибольшую из их площадей
Из условия следует, что, , и . Поэтому и . Значит, наибольшую площадь имеет сечение, проходящее через наибольшее ребро. По условию наибольшую длину имеет ребро , значит, наибольшую площадь имеют сечения и .
Сумма площадей поверхностей многогранников, на которые разбивается параллелепипед этими сечениями (см. рисунок), равна
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Единичный куб повёрнут на вокруг прямой, проходящей через середины противоположных рёбер и . Найдите объём общей части исходного куба и повёрнутого.
Подсказка 1
Итак, для начала надо внимательно разобраться с получающейся фигурой. Удобно начать построение с поворота рёбер AD и B₁C₁. Похожа ли общая часть кубов на какую-то известную нам фигуру? Если нет, то подумайте как можно её разбить на составляющие.
Подсказка 2
Работать с такого типа фигурой можно через сумму объёмов составляющих её частей. Или же через разность: вычитая удобные части из фигуры, содержащей искомую. Рассмотрим способ через сумму — наш многогранник удачно разбивается на параллелепипед и две правильные четырёхугольные пирамиды.
Подсказка 3
Найти все нужные длины нам поможет Пифагор: рассмотрите одну из граней исходного куба и возвышающуюся над ней часть нового куба. Аккуратный счёт поможет вам узнать, где пересекутся рёбра нового и исходного кубов.
Подсказка 4
Также, с помощью Пифагора мы сможем отыскать и все рёбра искомого многогранника. Осталось лишь отыскать объёмы всех составных частей и сложить их. Задача убита!
Пусть и — середины и , а куб после поворота переходит в . Общая часть будет объединением прямоугольного параллелепипеда и двух симметричных правильных четырёхугольных пирамид и , найдём их объёмы.
Сторона основания пирамиды равна стороне квадрата, то есть единице. Далее оба квадрата симметричны относительно , потому . Из имеем — боковая сторона пирамиды. Отсюда легко найти её высоту, которая равна , тогда объём пирамиды равен .
Поскольку (, которая по доказанному образует углы со сторонами), то , , как стороны квадрата, отсюда объём параллелепипеда .
В итоге объём сечения .