Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)
Тригонометрия на ОММО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80580

Найдите наибольший отрицательный корень уравнения

4sin(3x)+ 13cos(3x)= 8sin(x)+11cos(x).
Показать ответ и решение

По формулам синуса и косинуса тройного угла

           2                 2
4sin(x)(3− 4sin x)+ 13cos(x)(1− 4sin x)=8sin(x)+ 11 cos(x).

           2                2
sin(x)(4− 16sin x)+ cos(x)(2− 52 sin x) =0

sin(x)(2 − 8sin2x)= cos(x)(26sin2x− 1)

Возведем все в квадрат и переобозначим t=sin2x  .

t(2 − 8t)2 = (1− t)(26t− 1)2

740t3 − 760t2+ 57t− 1= (37t− 1)(20t2− 20t+1)

У этого уравнения корни 137  , 12 − √15  и 12 + 1√5  . Предположим, что наибольший отрицательный корень находится в четвертой четверти. Тогда синус должен быть тоже как можно больше, то есть sint= −√137  . Тогда t=arcsin−√137-  . Осталось проверить, что он нам подходит. Так как t  лежит в четвертой четверти, то cost>0  и cost= √637  .

                                     (                )
4sin(x)(3− 4sin2x)+13cos(x)(1− 4sin2x)= √1-  −12+ 16+ 78 − 312 =
                                   37       37      37

= 58 = 8sin(x)+ 11cos(x).
 37
Ответ:

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!