Тема . ОММО (Объединённая Межвузовская Математическая Олимпиада)
Тригонометрия на ОММО
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела оммо (объединённая межвузовская математическая олимпиада)
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#43271

Изобразите (с обоснованием) на координатной плоскости Oxy  множество решений неравенства

(2      2    ) ( 2      2         ) ( 2      2          )
y − arcsin (sinx)⋅ y − arcsin(sin(x+ π∕3)) ⋅y − arcsin (sin(x− π∕3)) < 0

Источники: ОММО-2018, номер 6 (см. olympiads.mccme.ru)

Подсказки к задаче

Подсказка 1

Мы работаем с арксинусами, в аргументах которых синусы -> прибавление к аргументу синуса 2π (или вычитание) ничего не изменит. Значит, нам достаточно работать только с отрезком длины 2π, возьмем, например, от -π/2 до 3π/2. Посмотрим на то, как именно раскрывается arcsin(sin(x)) на отрезках от -π/2 до π/2 и от π/2 до 3π/2.

Подсказка 2

На первом отрезке арксинус превратится в х², а на втором - в (π-х)². Тогда мы можем, грамотно применив разность квадратов, нарисовать области, которые нам подходят. Достаточно будет выбрать одну, и если она не будет подходить, то все соседние к ней подойдут, ведь при переходе через "ноль" будет меняться знак исходного выражения.

Подсказка 3

Важно отметить, что скобки отличаются собой только аргументами синуса, а это значит, что графики этих выражений будут идентичны и смещены друг от друга на расстояние π/3. Поэтому получится очень много квадратиков (так как изначально график любой изначальной скобки и составлял цепочку квадратов), и именно отсюда, после получения цепочек квадратиков нужно будет найти один подходящий, а затем дважды переходить через "ноль" и закрашивать нужную область.

Показать ответ и решение

Выражение слева не меняется при изменении x  на период 2π  . Поэтому достаточно разобраться с графиком на отрезке длины 2π  , например,   π 3π
[−2; 2 ].

Если      π π
x∈ [− 2;2],  то     2       2
arcsin (sinx)= x .

Если    π 3π
x∈ [2; 2 ],  то     2            2
arcsin (sinx)= (π − x) .

Рассмотрим в выражении из условия первую скобку, для второй и третьей построение будет аналогично, но со сдвигом на π
 3.

Если      π π
x∈ [− 2;2],  то получаем неравенство (y− x)(y+ x)<0.

Если    π 3π
x∈ [2;-2 ],  то получаем неравенство (y +π − x)(y +x− π)< 0.

Теперь рассмотрим график ниже, отметим области под одной прямой и над другой:

PIC

y2 − arcsin2(sinx)< 0  в квадратах.

Для второй и третьей скобки будут те же квадраты, только сдвинутые на π3  и на − π3  по оси x.

Ответ:

PIC

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!