Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Точки — точки пересечения продолжений высот остроугольного треугольника с описанной вокруг окружностью. Окружность, вписанная в треугольник , касается одной из сторон , а один из углов треугольника равен . Найдите два других угла треугольника
Источники:
Подсказка 1
С помощью свойств ортоцентра докажите, что H - инцентр A_1 B_1 C_1
Подсказка 2
Нужно доказать, что треугольник H B C_{1} --- равносторонний.
Первое решение.
Не умаляя общности, пусть окружность , вписанная в , касается стороны . Пусть - точка пересечения высот треугольника - точка касания и точка касания и
Известно, что высоты являются биссектрисами его ортотреугольника. При гомотетии с центром в точке и коэффициентом ортотреугольник переходит в так что биссектрисы тоже пересекаются в точке
По свойству ортоцентра и симметричны относительно прямой , так что Кроме того, (), поэтому прямоугольные треугольники и равны по катету () и острому углу. Поэтому
В итоге получили Тогда , откуда с учётом условия и следует ответ.
Второе решение.
Пусть высоты пересекаются в точке . Заметим, что
Отсюда следует, что лежит на биссектрисе угла . Делая то же самое для остальных углов, имеем, что — центр вписанной окружности
Обозначим радиус этой окружности за и, не умаляя общности, (касание из условия). Нетрудно видеть, что является высотой треугольника . Поскольку мы уже знаем, что ( — также биссектриса ), то (получили высоту и биссектрису ). Пусть также точка касания вписанной окружности. Тогда в прямоугольном катет равен половине гипотенузы и . Поскольку мы знаем, что какой-то другой угол равен , то третий будет
и
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!