Ошибка.
Попробуйте повторить позже
В треугольнике длины сторон равны , и . Найдите площадь фигуры, состоящей из тех и только тех точек внутри треугольника , для которых выполняется условие
Первое решение. Обозначим .
Докажем утверждение, известное как теорема Лейбница в геометрии. Пусть - точка пересечения медиан треугольника . Представим
тогда
Поскольку центр тяжести треугольника , то
и
С учётом доказанной выше теоремы задача эквивалентна
то есть неравенство сводится к
Итак, геометрическим местом точек , удовлетворяющих поставленному условию, является круг радиуса с центром в точке пересечения медиан треугольника .
Этот круг принадлежит треугольнику, если его радиус не больше, чем одна треть наименьшей из высот :
Значит, при выполнении условия
искомая площадь равна . По формуле Герона найдем площадь треугольника:
Вычислим
Поскольку , условие выполняется:
Значит, ответ: .
Второе решение. Высота треугольника, проведенная к стороне длины , равна . Основание высоты делит эту сторону на отрезки, равные и . Введем систему координат так, как показано на рисунке. Тогда .
Перепишем неравенство так:
Оно определяет круг радиуса с центром в точке . Покажем, что все точки этого круга принадлежат треугольнику . Для этого найдем расстояния от точки до сторон треугольника. Уравнение стороны , расстояние до неё равно . Уравнение стороны , расстояние . И расстояние от точки до стороны равно, очевидно, . Наименышее из расстояний , тем не менее, больше, чем радиус круга . Поэтому весь круг и является той фигурой, площадь которой требуется найти, откуда .
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!