Задачи повышенного уровня сложности —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Задачи повышенного уровня сложности

Тема 6. Решение уравнений

6.09 Задачи повышенного уровня сложности

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела решение уравнений

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#2152

Решите уравнение. В ответе укажите сумму квадратов корней уравнения если они есть, и 0, если уравнение не имеет корней.

2 √-- 2x + 57x + 7 = 0

Показать ответ и решение

Так как $D = 57− 4 ⋅2⋅7 = 1 > 0,$ уравнение имеет корни.

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда по теореме Виета $√57 a+ b = − 2$ , $7 ab = 2.$

( √ --)2 a2 + b2 = a2 + 2ab+ b2 − 2ab = (a+ b)2 − 2ab ⇒ a2 + b2 = −-57 − 2⋅ 7 = 57 − 7 = 7,25 2 2 4

2 способ.

Корни уравнения

√-- √ -- x1 = −--57−-1- и x2 = −--57+-1- 4 4

Тогда

( √-- )2 √ -- x21 = −--57-−-1 = 57+-2--57+-1 4 16 ( ) − √57 + 1 2 57− 2√57-+ 1 x22 = ----4---- = -----16----- √ -- √-- ⇒ x21 + x22 = 57+-2-57+-1 + 57−-2-57-+-1= 7,25. 16 16

Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 7,25

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2151

Найдите произведение корней уравнения

2 2 2 (x + 2) = 6x + 4

Показать ответ и решение

1 способ.

Сделаем замену: $2 x + 2 = t.$ Тогда $2 x = t − 2$ и уравнение примет вид:

2 2 t − 6(t − 2) − 4 = 0 ⇔ t − 6t+ 8 = 0

По теореме Виета корнями являются числа $t = 4$ и $t = 2,$ следовательно,

[ [ [ x2 + 2 = 2 x2 = 0 x = 0 2 ⇔ 2 ⇔ 2 x + 2 = 4 x = 2 x = 2

Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.

2 способ.

Раскроем скобки:

4 2 2 4 2 2 2 x +4x + 4 = 6x + 4 ⇔ x − 2x = 0 ⇔ x(x − 2) = 0

Следовательно, один из корней уравнения равен 0, а значит, и произведение корней равно 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#857

Решите уравнение. В ответ укажите сумму квадратов корней уравнения, если они есть, и $0$ , если уравнение не имеет корней.

√- 2 √ -- √ -- 5x − 13x− 20 = 0

Показать ответ и решение

Так как $√- √-- D = 13+ 4 ⋅ 5 ⋅ 20 = 13+ 40 = 53 > 0,$ то уравнение имеет корни.

1 способ.

Пусть $a$ и $b$ – корни уравнения. Тогда $√13 a+ b = √--- 5$ и $√20- ab = −-√--. 5$

(√ --)2 ( √ --) 2 2 2 2 2 2 2 -√13 -√20 13 a + b = a +2ab + b − 2ab = (a+ b) − 2ab ⇒ a + b = 5 − 2⋅ − 5 = 5 + 4 = 6,6

2 способ.

Корни уравнения

√13-− √53 √13-+ √53 x1 = ----√----- и x2 = ----√----- 2 5 2 5

Тогда

( √13 − √53-)2 13 − 2√13√53-+ 53 x21 = ----√----- = ----------------- 2 5 20 ( √13 +√53-)2 13 + 2√13√53-+ 53 x22 = ----√----- = ----------------- 2 5 √ --√ -- 20 √--√ -- 2 2 13-−-2-13--53-+-53 13-+-2-13--53+-53 ⇒ x1 + x2 = 20 + 20 = 6,6

Заметим, что первый способ вычислительно проще.

Ответ: 6,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#855

Найдите положительный корень уравнения

2 2 2 (x + 1) − 6x − 1 = 0

Показать ответ и решение

Сделаем замену: $2 x + 1 = t$ . Тогда $2 x = t− 1$ и уравнение примет вид:

2 2 t − 6(t − 1) − 1 = 0 ⇔ t − 6t+ 5 = 0

По теореме Виета корнями являются числа $t = 5$ и $t = 1,$ следовательно,

⌊ [ 2 [ 2 [ x = 0 x + 1 = 1 ⇔ x = 0 ⇔ x = 0 ⇔ |⌈x = 2 x2 + 1 = 5 x2 − 4 = 0 (x − 2)(x +2) = 0 x = − 2

Следовательно, положительный корень – это $x = 2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2389

Сумма квадратов различных вещественных корней приведенного квадратичного трехчлена равна $1,$ а сумма кубов этих же корней равна $− 1.$ Найдите количество квадратичных трехчленов, удовлетворяющих этим условиям.

Показать ответ и решение

Приведенным называется квадратичный трехчлен вида $2 t + bt+ c,$ где $b,$ $c$ – некоторые числа. Пусть $x,$ $y$ – различные вещественные корни такого трехчлена (следовательно, его дискриминант должен быть положительным).

Тогда

x2 + y2 = (x+ y)2 − 2xy = (− b)2 − 2c = b2 − 2c 3 3 2 2 2 2 x + y = (x+ y)(x − xy + y) = (x + y)((x +y) − 3xy) = − b(b − 3c)

Следовательно, получаем систему:

{ (| b2 − 1 b2 − 2c = 1 { c =--2-- − b(b2 − 3c) = − 1 ⇒ |( b3 − 3b+ 2 = 0

Найдем корни уравнения $3 b − 3b+ 2 = 0.$ Подбором находим, что $b = 1$ является корнем. Выполнив деление в столбик, получаем $3 2 b − 3b+ 2 = (b− 1) (b+ 2) = 0,$ следовательно, его корни: $b = 1$ и $b = − 2.$ Тогда получаем:

⌊ { | b = 1 || c = 0 || ( |⌈ {b = − 2 (c = 3 2

Осталось проверить положительность дискриминанта.

Для первой пары чисел получаем: $2 D = b − 4c = 1 > 0;$ для второй пары чисел: $D = − 2 < 0.$

Следовательно, подходит только одна пара чисел, а это значит, что существует только один приведенный квадратичный трехчлен, удовлетворяющий условиям.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1826

Найдите корень уравнения

2 2 2 ln(sin(3πe ))x+ ln6 − ln2 = ln 3+ ln(tg(3πe ))+ ln(cos(3πe ))

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

2 2 2 ln(sin(3πe ))x + ln 3 = ln3 +ln(tg (3πe ))+ ln(cos(3πe ))

ln(sin (3πe2))x = ln(tg (3πe2)⋅cos(3πe2))

ln(sin(3πe2))x = ln(sin(3πe2))

Разделим левую и правую часть уравнения на $ln(sin (3πe2))$ . После деления: $x = 1$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 1

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1431

Найдите корень уравнения

2 f (x)− 4f(x)− 5 = 0,

если $f(x)$ – некоторая функция, определённая всюду, область значений которой – множество положительных чисел, причём $f(x) = 5$ при $x = − 1$ и при $x = 3$ . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

Сделаем замену $f(x) = t$ , тогда исходное уравнение примет вид

2 t− 4t− 5 = 0.

Дискриминант $D = 16+ 20 = 36,$ тогда корни

t = 4-+6-= 5, t = 4−-6-= − 1. 1 2 2 2

Тогда $f(x) = 5$ или $f(x) = − 1,$ но по условию $f(x)$ может принимать только положительные значения, следовательно, $f(x) = − 1$ быть не может.

Так как $f(x) = 5$ по условию выполняется при $x = − 1$ и при $x = 3,$ то у исходного уравнения два корня $x1 = − 1,$ $x2 = 3.$ Меньший из корней: $x = − 1.$

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1430

Найдите корень уравнения

√ --2 √ -- √ -- (π) ( π) √-- πx − 6 πx+ 4 π+ ϕ x = ϕ x − 4 π,

если $ϕ(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $π z = 4$ . Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= 0$ и $π π x ⁄= 4$ , что равносильно $0 ⁄= x ⁄= 4$ . Решим на ОДЗ:

√-- 2 √-- √ -- √-- πx − 6 πx + 4 π = − 4 π.

Разделим на $√π-$ :

x2 − 6x+ 4 = − 4 ⇔ x2 − 6x+ 8 = 0.

Дискриминант $D = 36− 32 = 4$ , откуда

x1 = 6+-2-= 4, x2 = 6−-2-= 2, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 2$ .

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#1424

Найдите корень уравнения

∘ π- ∘ -π- − ex = 4e

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x$ – произвольное. Решим на ОДЗ:

∘ π- 1∘ π- − ex = 2 e-

Разделим левую и правую часть уравнения на $∘ -- π- − e.$

После деления: $1 x = −2$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#86

Найдите корень уравнения

2√ - √- 3ψ ( ex)− 5ψ( ex) − 2 = 0,

если $ψ(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = 1,$ область значений которой – множество не положительных чисел, причём $1 ψ(z) = − 3$ при $√- z = − e$ и при $√ - z = 2 e.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите больший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√- ex ⁄= 1,$ что равносильно $1 x ⁄= √e-.$ Решим на ОДЗ: Сделаем замену $√- ψ( ex) = t,$ тогда исходное уравнение примет вид

3t2 − 5t− 2 = 0

Дискриминант $D = 25+ 24 = 49,$ тогда корни

5 + 7 5− 7 1 t1 =--6--= 2, t2 = --6--= − 3

Тогда $- ψ(√ ex ) = 2$ или $- ψ (√ ex) = − 1, 3$ но по условию $ψ(z)$ может принимать только не положительные значения, следовательно, $ψ(√ex ) = 2 > 0$ быть не может.

Так как $1 ψ(z) = − 3$ по условию выполняется при $√ - z = − e$ и при $√ - z = 2 e,$ то у исходного уравнения два корня $√ - √- ex1 = − e,$ $√- √- ex2 = 2 e,$ то есть $x1 = − 1$ и $x2 = 2.$ Больший из корней: $x = 2.$

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#85

Найдите корень уравнения

2 (h(x)⋅x + 3h(x)⋅x − 10h(x))⋅h(5x) = 0,

если $h(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = − 25,$ причём $h(z) < 0$ при всех допустимых $z.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 25$ и $5x ⁄= − 25,$ что равносильно $− 25 ⁄= x ⁄= − 5.$ Решим на ОДЗ:

Произведение нескольких множителей равно нулю в том и только том случае, если хотя бы один из них равен нулю и все они не теряют смысл.

Тогда в силу того, что $h(z) < 0$ при всех допустимых $z,$ на ОДЗ исходное уравнение равносильно

2 2 h(x)⋅x +3h (x) ⋅x − 10h(x) = 0 ⇔ h(x) ⋅(x + 3x− 10) = 0,

что аналогично на ОДЗ равносильно

x2 + 3x− 10 = 0,

Дискриминант $D = 9+ 40 = 49,$ откуда

x1 = − 3-+7-= 2, x2 = −-3−-7 = − 5, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 2.$

Ответ: 2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#84

Найдите корень уравнения

2 g(sin x)+ ln π⋅x − 8 ln π⋅x +17 ln π = g(sin x)+ 2lnπ,

если $g(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = sin3.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $sin x ⁄= sin 3,$ что равносильно $π − (3− 2π)+ 2πk ⁄= x ⁄= 3 − 2π+ 2πk.$ Решим на ОДЗ:

2 ln π⋅x − 8ln π⋅x + 17lnπ = 2ln π

Разделим на $lnπ :$

x2 − 8x+ 17 = 2 ⇔ x2 − 8x + 15 = 0

Дискриминант $D = 64− 60 = 4,$ откуда

8+ 2 8− 2 x1 = -----= 5, x2 =-----= 3, 2 2

но по ОДЗ подходит только $x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#83

Найдите корень уравнения

√ - 2 √- √- √- 3x − (3 3 + 3)x + 9+ f( 3x ) = f( 3x),

если $f(z)$ – некоторая функция, определённая всюду, кроме $z = 3.$ Если уравнение имеет несколько корней, в ответ запишите меньший из них.

Показать ответ и решение

ОДЗ: $√- 3x ⁄= 3,$ что равносильно $√- x ⁄= 3.$ Решим на ОДЗ:

√ - 2 √ - 3x − (3 3+ 3)x+ 9 = 0

Разделим на $√3 :$

x2 − (3+ √3)x + 3√3 = 0,

тогда по теореме Виета $√ - x1 + x2 = 3+ 3$ и $√ - x1 ⋅x2 = 3 3,$ откуда $x1 = 3$ и $√ - x2 = 3,$ но по ОДЗ подходит только $x = 3.$

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#78

Найдите корень уравнения

f(x) f(x) 7x + x+-3-= 21+ x-+-3,

если $f(x )$ – некоторая функция, определённая всюду на $ℝ.$

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x ⁄= − 3.$ Решим на ОДЗ: $7x = 21 ⇔ x = 3$ – подходит по ОДЗ.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2711

Найдите произведение корней уравнения, если известно, что все они различны.

3 2 2 2 11π+ πx + (− 11π+ 1 − π )x + (− 11+ 11π − π )x = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx + d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $d − --, a$ тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно

− 11π-= − 11 π

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#376

Найдите значение выражения

x1x2-+-x1x3 +-x2x3 x1x2x3 ,

где $x1,$ $x2,$ $x3$ – различные корни уравнения $x3 − 10x2 − 225x + 2250 = 0.$

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ отношение $c a$ равно значению выражения $x1x2 +x2x3 + x3x1,$ где $x1,$ $x2,$ $x3$ – корни этого уравнения (при учёте того, что все они различны), тогда значение выражения $x1x2 + x2x3 + x3x1$ для исходного уравнения равно

− 225 --1--= − 225

По теореме Виета для уравнения третьей степени $ax3 + bx2 + cx+ d = 0$ произведение его корней (при учёте того, что все они различны) равно $− da$ , тогда произведение $x1x2x3$ корней рассматриваемого уравнения равно

− 2250= − 2250 1

В итоге

x1x2 +-x1x3 +-x2x3-=-− 225-= 0,1 x1x2x3 − 2250

Ответ: 0,1

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#375

Найдите сумму корней уравнения, если известно, что все они различны.

1 3 2 2 πx − πx − 2π + πx = 0

Показать ответ и решение

По теореме Виета для уравнения третьей степени $3 2 ax + bx + cx+ d = 0$ сумма его корней (при учёте того, что все они различны) равна $b − a,$ тогда произведение корней рассматриваемого уравнения равно

2 2 π − -π1 = --⋅--= 2 − π π 1

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#2183

Сколько корней имеет данное уравнение?

∘--4---3---2------- ∘ -3----2------- x + x + x + x + 1+ x + 3x + x + 1 = 0

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 4 3 2 x3 + x +2 x + x + 1 ≥ 0 x + 3x + x+ 1 ≥ 0

Так как при любом $a ≥ 0$ имеем $√ -- a ≥ 0,$ то сумма двух корней на ОДЗ равна нулю тогда и только тогда, когда оба корня равны нулю, откуда

{√ -4---3----2------- √ x-+-x--+-x-+-x+ 1 = 0 x3 + 3x2 + x+ 1 = 0 ,

что равносильно

{ x4 + x3 + x2 + x + 1 = 0 x3 + 3x2 + x+ 1 = 0.

Из второго уравнения получаем:

3 2 2 3 2 2 x + x +3x + x+ 1 = 0 ⇔ x + x + x+ 1 = − 2x

Подставляя это в первое уравнение, находим:

√ - √ - x4 − 2x2 = 0 ⇔ x2(x − 2)(x + 2) = 0

Таким образом, корнями исходного уравнения могут быть только числа $0,$ $√- 2,$ $√ - − 2.$

Прямой подстановкой в полученную систему убеждаемся, что ни одно из них не является корнем первого уравнения системы. Например, при $√ - x = − 2 :$

√- √- √ - x4 + x3 + x2 + x + 1 = 4 − 2 2+ 2 − 2 + 1 = 7− 3 2 ⁄= 0

В итоге, ответ: 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#2177

Число называется алгебраическим, если оно является корнем какого-нибудь многочлена с целыми коэффициентами. Антон придумал себе уравнение

∘ -2------- ∘ ----2----------- x − 0,5x − 0,5x + 0,5x + 0,5 = 0

Сколько алгебраических корней у этого уравнения?

Показать ответ и решение

ОДЗ:

{ 2 x − 02,5x ≥ 0 0,5x + 0,5x+ 0,5 ≥ 0

Исходное уравнение равносильно уравнению

∘ -2------- ∘ ----2----------- x − 0,5x = 0,5x + 0,5x+ 0,5

Так как левая и правая части последнего неравенства неотрицательны, то уравнение, получающееся из данного возведением в квадрат левой и правой частей, равносильно исходному на ОДЗ.

x2 − 0,5x = 0,5x2 +0,5x + 0,5 ⇔ x2 − 2x − 1 = 0

Таким образом, всякое решение исходного уравнения является корнем многочлена $x2 − 2x− 1,$ следовательно, всякое решение исходного уравнения будет алгебраическим.