Первое равенство при фиксированном задает окружность с центром в точке и радиусом . Так как , то центр окружности при изменении движется по окружности с центром в начале координат и радиусом . Следовательно, при всех первое уравнение задает множество точек, располагающихся между окружностями с центром в начале координат и радиусами и (назовем это множество “бубликом”).

Рассмотрим второе уравнение. При оно равносильно , а при равносильно . Следовательно, при оно задает квадрат, точка пересечения диагоналей которого совпадает с началом координат , а вершины лежат на координатных осях. При оно задает точку или пустое множество, что нам не подходит (точка не лежит на бублике, а пустое множество дает пустое множество решений системы).

Рассмотрим два граничных положения для квадрата, находясь между которыми, квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения с бубликом, следовательно, существует такое , для которого существует окружность, с которой квадрат имеет хотя бы одну точку пересечения, то есть существует такая тройка :

Так как половина диагонали квадрата равна , то , и

Первое уравнение при фиксированном задает окружность, центр которой лежит и радиус . Так как и , , то центр движется по верхней левой четверти окружности с центром в и радиусом . Следовательно, при всех первое уравнение задает голубую “колбаску”, состоящую из четверти области, заключенной между окружностями с центром в точке и радиусами и , а также двух полукругов с центрами в точках и :

В розовой области находятся все положения прямой , при которых эта прямая с “колбаской” имеет хотя бы одну точку пересечения, то есть система имеет хотя бы одно решение (существует хотя бы одно , для которого существует такая окружность , которая имеет с прямой хотя бы одну точку пересечения ).

Заметим, что в силу симметрии голубой области и прямой относительно прямой , если прямая с окружностью для имеет точку пересечения, то она имеет и с окружностью для точку пересечения (положение ). А также в силу этой же симметрии положение задает прямую , точка пересечения которой с голубой областью единственна, следовательно, лежит на оси симметрии .

:

ищем через формулу расстояния от центра окружности до прямой, которое равно радиусу окружности (так как прямая касается окружности):

Нашему положению соответствует меньшее .

:

ищем через точку пересечения прямой и окружности во II четверти, то есть точку , которая лежит на , откуда

Следовательно,

Рассмотрим первое уравнение. Его можно переписать в виде

Так как сумма квадратов – величина неотрицательная, то необходимое условие существования хотя бы одного решения у первого уравнения: . Заметим, что из равенства вида следует, что , тогда из первого уравнения следует, что , , то есть и .

Из второго уравнения находим, что , как подкоренные выражения.

Учитывая найденное, мы можем утверждать, что если у системы есть решение , то оно должно удовлетворять следующим условиям:

Определим, какие ограничения на параметр накладывают найденные ограничения на неизвестные .

Из первого уравнения, как было сказано выше, следует, что .

Так как , , и , , то из второго уравнения получаем:

Таким образом, значения параметра должны удовлетворять системе:

Так как , то получим:

Заметим, что при этих значениях параметра , следовательно, , следовательно, , и это решение удовлетворяет второму уравнению. Следовательно, при система имеет единственное решение , а при других решений нет.

Перепишем систему в виде:

Так как и , то из первого равенства следует, что . Так как и , то из второго равенства следует, что . Значит, . Но правая часть третьего равенства , следовательно, по методу оценки третье равенство возможно тогда и только тогда, когда обе части равны :

1.

При имеем

2.

При имеем