Тема 10. Сюжетные текстовые задачи
10.08 Задачи на прогрессии
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела сюжетные текстовые задачи
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17432

Найдите сумму всех членов прогрессии:    3   3    3
3+ 4 + 16+ 64 + ...

Показать ответ и решение

Заметим, что слагаемые в данной сумме — члены геометрической прогресии с первым членом b = 3  и знаменателем     1
q = 4  . по формуле суммы членов геометрической прогрессии

    --b--  --3--
S = 1− q = 1− 14 = 4.
Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1638

Степан за несколько дней отжался в сумме 330 раз, ежедневно увеличивая количество отжиманий на одно и то же число. В первый и последний день в сумме Степан отжался 60 раз. За сколько дней Степан отжался в сумме 330 раз?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств отжиманий, сделанных Степаном за первый, второй и так далее дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 330, а сумма первого и последнего элементов равна 60.

Формула для суммы первых n  членов арифметической прогрессии:

     a1+-an-
Sn =   2   n

Здесь a1,an  — первый и n  -ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию a1+ an = 60,  а Sn = 330.  Отсюда имеем:

330= 60n   ⇒   n= 11
      2
Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1635

Света ловит бабочек. Каждый день она ловит на одно и то же количество бабочек больше по сравнению с предыдущим днём. В первый день она поймала одну бабочку, а за 15 дней в сумме она поймала 120 бабочек. Сколько бабочек поймала Света в восьмой день?

Показать ответ и решение

Последовательность чисел бабочек, пойманных за первый, второй и так далее дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию. Сумма первых 15 членов этой прогрессии равна 120.

Рассмотрим формулу суммы первых n  членов арифметической прогрессии:

     a1+ an
Sn = --2---n

Здесь a1,an  — первый и n  -ый члены арифметической прогрессии соответственно. По условию имеем: n = 15,  S15 =120,  следовательно,

120 = a1+-a15-⋅15
        2
   8= a1+-a15
         2
   a1+ a15 = 16

Так как в первый день Света поймала одну бабочку, то a1 = 1,  следовательно, a15 =15.

Если d  — разность арифметической прогрессии, то

a15 = a1+ 14d
 15= 1+ 14d
    d= 1

Тогда количество пойманных в восьмой день бабочек равно

1+ 7 ⋅1 = 8
Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1633

Николай прорешал сборник задач, в котором было 1260 задач, ежемесячно увеличивая количество задач на одно и то же число по сравнению с предыдущим месяцем. За первый и последний месяц в сумме Николай прорешал 210 задач. Сколько месяцев Николай прорешивал сборник?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств задач, решённых за первый, второй и так далее месяцы соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма элементов которой равна 1260, а сумма первого и последнего элементов равна 210.

Формула для суммы первых n  членов арифметической прогрессии:

     a1+-an-
Sn =   2   n

Здесь a1,an  — первый и n  -ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию a1+ an = 210,  а Sn = 1260.  Отсюда имеем:

1260= 210n  ⇒   n = 12
       2
Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#20845

Вере надо подписать 640 открыток. Ежедневно она подписывает на одно и то же количество открыток больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вера подписала 10 открыток. Определите, сколько открыток было подписано за четвертый день, если вся работа была выполнена за 16 дней.

Показать ответ и решение

Обозначим количество открыток, на которые Вера подписывает больше каждый день, через x  . Известно, что за первый день она подписала 10 открыток. Тогда за второй день она подписала 10+ x  открыток, за третий — 10 +2x  открыток, за четвертый — 10+ 3x  открыток. Тогда за k  -ый день она подписывает 10+ x(k− 1)  открыток.

Дней всего 16, т.е. чтобы найти общее количество решенных за эти дни задач, нужно сложить слагаемые вида 5 + x(k − 1)  , где k  — от 1 до 16. Получим следующую сумму:

pict

При этом всего было подписано 640 открыток, т.е.

pict

Тогда каждый день Вера подписывает на 4 открытки больше, чем в предыдущий. Тогда за 4-ый день было подписано 10+ 4⋅(4 − 1) = 22  открытки.

Ответ: 22 открытки

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#20844

Васе надо решить 525 задач. Ежедневно он решает на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днем. Известно, что за первый день Вася решил 5 задач. Определите, сколько задач решил Вася в последний день, если со всеми задачами он справился за 14 дней.

Показать ответ и решение

Пусть Вася в каждый следующий день решает на x  задач больше, чем в предыдущий. Известно, что за первый день он решил 5 задач. Тогда за второй день он решил 5+ x  задач, за третий — 5+ 2x  задач, за четвертый — 5+ 3x  задач. Тогда за k  -ый день он решит 5+ x(k− 1)  задач.

Дней всего 14, т.е. чтобы найти общее количество решенных за эти дни задач, нужно сложить слагаемые вида 5 + x(k − 1)  , где k  — от 1 до 14. Получим следующую сумму:

pict

Приравняв к 525, найдем x

70+ 91x = 525  ⇔   x = 5

Тогда в последний день Вася решил 5+ 13x = 5+ 13⋅5 = 70  задач.

Ответ: 70

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2213

Илья решил в течение некоторого периода каждый день отжиматься в два раза больше, чем в предыдущий день. В четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день. Сколько раз суммарно отжался Илья за этот период, если в первый день он отжался три раза?

Показать ответ и решение

В третий день Илья сделал 3 ⋅ 23−1 = 12  отжиманий, а в четвёртый день он сделал 3 ⋅ 24−1 = 24  отжимания. Так как в четвёртый и последний день вместе он отжался в десять раз больше, чем в третий день, то в четвёртый и последний день он отжался 12 ⋅ 10 = 120  раз, следовательно, в последний день он отжался 120 − 24 = 96  раз.

Пусть n  дней длился период отжиманий Ильи, тогда

3 ⋅ 2n− 1 = 96   ⇔      2n− 1 = 32     ⇔      n =  6.

Суммарное количество отжиманий, сделанное Ильёй, равно

    6
3 ⋅ 2-−-1 = 189.
   2 − 1
Ответ: 189

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2207

Художник каждый день пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день. Известно, что за 10 дней он написал 100 портретов. Сколько портретов он написал в первый день?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств портретов, написанных за первый, второй и т.д. дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 10 элементов которой равна 100.

Формула для суммы первых n  членов арифметической прогрессии:

    a1-+an
Sn =   2  n,

где a1,  an  — первый и n  -ый члены арифметической прогрессии соответственно. При этом по условию n =10,  S10 = 100,  откуда находим

a1 +a10 = 20.

Кроме того, известно, что каждый день художник пишет на 2 портрета больше, чем в предыдущий день, тогда

a1+ a10 = 2a1+ 9⋅2= 20,

значит, a1 =1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#306

Сергею надо собрать 630 подписей. Каждый день он собирает на 3 подписи больше, чем в предыдущий день. Известно, что все подписи он собрал за 20 дней. Сколько подписей Сергей собрал в последний день, если в первый день он собрал 3 подписи?

Показать ответ и решение

Последовательность количеств подписей, собранных за первый, второй и так далее дни соответственно, представляет собой арифметическую прогрессию, сумма первых 20 элементов которой равна 630.

Формула для суммы первых n  членов арифметической прогрессии:

     a1+ an
Sn = --2---n

Здесь a1,an  — первый и n  -ый члены арифметической прогрессии соответственно.

При этом по условию n= 20,  S20 = 630,  откуда находим a1 +a20 = 63.  Так как в первый день Сергей собрал 3 подписи, то a1 = 3,  следовательно, a20 = 60.

Ответ: 60
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!