График логарифмической функции —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.07 График логарифмической функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#72207

На рисунке изображён график функции $f(x) = a + log x. b$ Решите уравнение $f(x) = 1.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Найдем координаты выделенных на графике точек $A(2;− 2)$ и $B(4;− 1)$ и подставим их в уравнение для $f(x) :$

{ − 2 = a+ log 2, b − 1 = a+ logb 4.

Вычтем из первого уравнения системы второе:

− 2− (− 1) = a + logb2− (a +logb4),

− 1 = logb2− logb 4,

2 − 1 = logb-, 4

− 1 = logb0,5.

По формуле перехода к новому основанию $logab = --1--: logba$

− 1 =--1---, log0,5b

log b = − 1, 0,5

log0,5b = log0,50,5−1 = log0,52,

b = 2.

Найдём коэффициент $a :$

− 2 = a+ log22,

− 2 = a+ 1,

− 3 = a.

Таким образом, $f(x ) = − 3 + log2x.$

Осталось решить уравнение $f(x) = 1 :$

− 3 + log2x = 1,

log2x = 4,

x = 16.

Ответ: 16

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#20864

На рисунке изображен график функции вида $f(x)= logax.$ Найдите значение $f(8).$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видно, что график функции $f(x) =logax$ проходит через точку $(2;− 1).$ Тогда мы можем составить уравнение:

f(2)= −1 ⇔ loga2= −1 ⇔ ⇔ a−1 = 2 ⇔ a = 1 a>0 2

Отсюда уравнение функции имеет вид

f(x)= log 12 x

Тогда

( )− 3 f(8)= log12 8= log12 1 = −3 2

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32197

Ha рисунке изображён график функции $f(x)= log (x+ b). a$ Найдите $f(13).$

$PIC$

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целые точки $(−2;0)$ и $(1;4)$ принадлежат графику функции $f(x)$ , поэтому можем составить систему (сразу заметим, что $a ⁄=1, a > 0$ , иначе $logax$ неопределён):

$pict$

Значит, функция имеет вид $√- f(x)= log 2(x+ 3).$

Осталось найти $f(13):$

(√-)8 f(13)= log√2(13+ 3)=log√2-16 =log√224 = log√2 2 = 8

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32013

На рисунке изображён график функции $f(x)= b+ loga x.$ Найдите $f(32).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Сразу заметим, что $a⁄= 1,$ $a >0,$ иначе $loga x$ не определён. По картинке видим, что целые точки $(2;1)$ и $(4;0)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить систему:

$pict$

Можем приравнять правые части уравнений последней системы:

1− loga2= − 2loga2 ⇔ − 1= loga 2 1 = 2 ⇔ a= 1 a 2

Теперь можем найти коэффициент $b:$

b= −2 log12 = −2⋅(−1)= 2 2

Значит, функция имеет вид

f(x) =2 + log12 x

Осталось найти $f(32):$

5 f(32)= 2+ log12 32= 2+ log 12 2 = = 2+ 5log12 2= 2 +5 ⋅(− 1) = −3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32012

На рисунке изображен график функции $f(x) =b +log x. a$ Найдите $( ) f 1 . 3$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целые точки $(1;− 2)$ и $(3;−1)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить систему:

( {−2 = f(1) (−1 = f(3) ( {−2 = b+ loga1 ( −1 = b+ loga3 ({ b= − 2− loga1 (loga 3= −1− b ( {b= − 2 (loga 3= −1− (−2)

Теперь мы можем найти коэффициент $a :$

loga 3= −1− (−2) loga3 =1 a = 3

Значит, функция имеет вид

f(x)= −2 +log3x

Осталось найти $f (13) :$

(1) 1 f 3 = −2+ log33 = = −2+ log3 3−1 = −2− log33 = = −2− 1= − 3

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#31969

На рисунке изображен график функции $f (x)= − 2loga(x− b).$ Найдите значения $a$ и $b.$ Запишите эти значения подряд без пробелов.

$xy110$

Показать ответ и решение

Найдем коэффициент $b,$ подставив в уравнение функции точку $(2;0),$ через которую проходит график. Тогда

f(2)= 0 ⇔ −2 loga(2 − b)= 0 ⇔ 2 − b = 1 ⇔ b= 1

Теперь найдем основание $a,$ подставив в уравнение точку $(5;−4),$ через которую проходит график. Тогда

f(5)= − 4 ⇔ −2loga(5− 1)= −4 ⇔ loga4= 2 ⇔ a = 2

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= −2log2(x − 1)

Ответ: 21

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#20706

На рисунке изображен график функции $f(x)= loga(bx).$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= −4.$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целые точки $(−3;−2)$ и $(−1;−1)$ принадлежат графику функции $f(x).$ Тогда можем составить систему:

( ( ( ( ) ( { −2= f(−3) ⇔ { −2= loga(−3b) ⇔ { 1= loga 13 ⇔ { a= 13 ( −1= f(−1) ( −1= loga(−b) ( −1= loga(−b) ( b= −3

Здесь во второй системе из второго уравнения вычли первое и получили третью систему.

Тогда функция имеет вид

f(x)= log13(−3x)

Осталось найти $x,$ при котором значение функции равно $− 4:$

−4 =f(x) ⇔ −4 = log13(−3x) ⇔ 81= − 3x ⇔ x= −27

Ответ: -27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#20705

На рисунке изображен график функции $f(x)= log1(ax + b). 2$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= −3.$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целые точки $(2;−1)$ и $(3;0)$ принадлежат графику функции $f(x).$ Тогда можем составить систему:

$pict$

Значит, функция имеет вид

f(x)= log12(− x+ 4)

Осталось найти $x,$ при котором значение функции равно -3:

−3= f(x) ⇔ −3 =log1(−x+ 4) ⇔ 8= − x+ 4 ⇔ x= − 4 2

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#14250

На рисунке изображен график функции $f (x)= loga(x+ b).$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= −5.$

$xy110$

Показать ответ и решение

По графику видно, что:

1) значение функции в точке $x =3$ равно 0, то есть

0= f(3)= loga(3+ b)

2) значение в точке $x = 4$ равно $− 1,$ то есть

− 1= f(4) =loga(4 +b)

Значение логарифма $loga(3 + b)$ будет равно 0 тогда и только тогда, когда $3 +b =1,$ то есть $b= −2.$ Подставив $b = −2$ в выражение для $f(4),$ получим:

− 1= loga(4+ b)= loga(4 − 2) =loga(2) ⇔ a= 1 2

Тогда функция имеет вид

f(x)= log1(x− 2)= − log (x − 2) 2 2

Осталось найти значение $x,$ при которых значение функции равно -5:

f(x)= −5 ⇔ − log (x− 2)= −5 ⇔ log(x − 2)= 5 ⇔ 2 ( 2 5 { x− 2= 25 ⇔ log2(x− 2)= log22 ⇔ ( x− 2> 0 ⇔ x= 34

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#14245

На рисунке изображен график функции $f(x)= b+ loga x.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= −2.$

$xy110$

Показать ответ и решение

По картинке видим, что целые точки $(1;1)$ и $(3;0)$ принадлежат графику функции $f,$ поэтому можем составить систему:

$pict$

Значит, функция имеет вид

f(x) =1 + log13 x

Осталось найти $x,$ при котором значение функции равно $− 2:$

( )−3 −2 = f(x) ⇔ − 2= 1+ log1 x ⇔ −3 =log1x ⇔ x= 1 ⇔ x= 27 3 3 3

Ответ: 27

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#31972

На рисунке изображен график функции

f(x)= loga(x− b) +c

Найдите $f(9).$

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что данный нам график «прижимается» к прямой $x= 1,$ которая выделенна на картинке как асимптота, тогда $b= 1.$

Теперь определим $c.$ Поймем как выглядел бы график функции $y = loga(x− 1).$ В точке $x= 2$ значение функции бы обнулялось, значит, график бы проходил через точку $(2;0).$ Рассматриваемый график проходит через точку $(2;2),$ следовательно $c =2.$

Тогда уравнение нашей функции теперь выглядит так:

f(x)= loga(x − 1) +2

По картинке видно, что график рассматриваемой функции проходит через точку $(5;4),$ значит, ее координаты обращают уравнение функции в верное равенство, то есть

f(5)= 4 ⇔ loga(5 − 1)+ 2= 4 ⇔ loga4= 2 ⇔ a =2

Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= log2(x − 1) +2

Тогда

f(9)= log2(9− 1)+2 = 3+ 2= 5

Ответ: 5

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#20647

На рисунке изображен график функции $f(x)= loga(x− b)+ c.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= 3.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= −3$ — уравнение вертикальной асимптоты графика функции $f(x).$ Это значит, что $b= −3.$ Также на картинке видно, что целые точки $(−2;−1)$ и $(−1;0)$ принадлежат графику функции $f(x),$ поэтому можем составить систему из двух уравнений:

( ( ( ( { f(−2)= −1 { loga(−2+ 3)+ c= −1 { 0+ c= − 1 {c = −1 ( ⇔ ( ⇔ ( ⇔ ( f(−1)= 0 loga(−1+ 3)+ c= 0 loga(2)+ c= 0 a = 2

Значит, функция имеет вид

f(x)= log2(x + 3) − 1

Осталось найти $x$ , при котором значение функции равно 3:

f(x)= 3 ⇔ log2(x+ 3)− 1 = 3 ⇔ log2(x+ 3)= 4 ⇔ x+ 3= 24 ⇔ x =13

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#20646

На рисунке изображен график функции $f(x)= loga(x− b)+ c.$ Найдите значение $x,$ при котором $f(x)= 4.$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что $x= 2$ — уравнение вертикальной асимптоты графика функции $f(x).$ Это значит, что $b= 2.$ Также на картинке видно, что целые точки $(3;1)$ и $(5;2)$ принадлежат графику функции $f (x),$ поэтому можем составить систему из двух уравнений: