Грамматические основы 

Союзы
Придаточная часть выделена цветом

Сам автор утверждает (,) что вся книга от начала до конца является вымыслом (2) и (3) что к реальным президентам Америки эта история не имеет отношения (,) но некоторые дотошные читатели ставят его слова под сомнение.

В предложении четыре грамматические основы: «автор утверждает»; «книга является вымыслом»; «история не имеет отношения»; «читатели ставят под сомнение».

Запятые в цифрах 1 и 4 выделяют однородные придаточные части, присоединённые к главной при помощи «ЧТО»: утверждает (что именно?), что вся книга от начала до конца является вымыслом и (что именно?) что к реальным президентам Америки эта история не имеет отношения.

Поскольку упомянутые придаточные части являются однородными (отвечают на один вопрос, относятся к одной главной части) и соединены сочинительным союзом «И», запятой они не разделяются. Следовательно, на месте цифр 2 и 3 знаки не требуются.