В первую очередь необходимо обратить внимание на основы, союзы и однородные.

1) Пёс выглядел сытым и счастливым и радостно вилял хвостом.

Однородные: выглядел (сытым И счастливым) И вилял. Запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И. Первое сказуемое — составное именное. К нему прикрепляются однородные прилагательные, которые также соединены союзом И. В данной ситуации мы не рассматриваем схему с повторяющимися союзами.

2) В дружине князя были его сыновья и братья из ближних и дальних поселений княжества.

Первая пара однородных: сыновья и братья; вторая пара однородных: из ближних и дальних. Запятые не нужны, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

3) И для Пушкина, и для Лермонтова гражданская поэзия имела огромное значение.

Однородные: и для Пушкина, и для Лермонтова. Запятые нужны, т.к. однородные соединены при помощи повторяющихся союзов И ... , И ... . Если союзы повторяются при однородных, то запятые начинаем ставить после первого однородного и т.д. после каждого, кроме последнего.

4) Чичиков надел красивый костюм, чистую рубашку и выглядел респектабельно.

Первая пара однородных: костюм, рубашку; вторая пара однородных: надел и выглядел. В первом случае запятая нужна, т.к. нет союза. Во втором случае запятая не нужна, т.к. однородные соединены при помощи союза И.

5) Григорий Печорин разрушил жизни многих женщин и мужчин и надоел самому себе.

Первая пара однородных: женщин и мужчин; вторая пара однородных: разрушил и надоел. Запятые не нужны, т.к. однородные соединены при помощи союза И.