Пусть касание боковой стороны происходит в точке . Рассмотрим треугольники и . Нетрудно видеть, что они равны (общая гипотенуза, равные по радиусу стороны и перпендикулярность из касания), откуда , и тогда , то есть треугольники и равны (для треугольника : — и высота, и медиана), . Если опустить в пирамиде высоту , то , и — половина диагонали квадрата в основании. Из прямоугольного треугольника находим высоту Тогда найденное равенство в терминах координат (которые мы вводим с центром в точке , осью параллельно и сонаправленно вектору , а две другие оси по сторонам квадрата в основании), мы получаем, что

Возводим в квадрат обе части нашего уравнения и получаем

Соответственно объём равен