Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Сфера касается основания тетраэдра в точке и проходит через вершину . Рёбра и эта сфера пересекает в точках и . Центр описанной окружности треугольника лежит на отрезке . Радиус сферы равен .
Пусть - объём тетраэдра , а - объём тетраэдра . Какое наибольшее значение может принимать
Источники:
Пусть — центр описанной окружности треугольника , лежащий на — центр сферы. Очевидно, — середина . Так как точки и лежат на сфере, перпендикулярно плоскости . С другой стороны, и — это одна и та же прямая, а перпендикулярна плоскости . Значит, плоскости и параллельны, а тетраэдры и подобны.
Пусть — длина , то есть высота маленького тетраэдра. Высота большого тетраэдра равна , а коэффициент их подобия .
- прямоугольный треугольник с прямым углом , значит, радиус описанной окружности треугольника , то есть , равен
Как известно, среди всех треугольников, вписанных в данную окружность, наибольшую площадь имеет равносторонний. Для окружности радиуса эта площадь составляет
Значит, объемы тетраэдров составляют
и
а их произведение равно
Чтобы максимизировать эту величину, достаточно максимизировать
В первой точке достигается минимум, равный нулю, а во второй — максимум. Подставив в формулу для объёма, получим
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!