Занумеруем двери числами например, по часовой стрелке. Пусть он будет рассматривать двери с номерами для

Первой попыткой Иван Царевич проверяет двери и Если после этого он не сумел выйти из комнаты, то двери и были заперты. Дверь останется запертой даже после того, как Баба-Яга запрёт открытую и отопрёт одну из соседних.

Второй попыткой Иван Царевич проверяет двери и Если после этого он не сумел выйти из комнаты, то двери были заперты, а с учетом того, что тоже заперта, можно утверждать, что двери и останутся запертыми и после действий Бабы-Яги.

Пусть на шаге он открывает двери с номерами И пусть ему известно, что дверей с номерами точно были закрыты перед его ходом. Тогда после проверки дверей Иваном Царевичем и действий Бабы Яги мы будем знать, что дверей с номерами точно заперты, потому что перед ходом Бабы Яги были заперты соседние к ним двери.

Тогда не более, чем за шагов Иван будет знать все запертые двери и сможет выбрать открытую.