Пусть векторы в прямоугольной системе координат имеют координаты соответственно. Тогда среди указанных сумм встречаются значения всевозможных скалярных произведений двух векторов из набора

Скалярное произведение двух векторов отрицательно тогда и только тогда, когда угол между этими векторами является тупым. Таким образом, достаточно показать, что среди любых четырех векторов в двумерном пространстве найдутся два, угол между которыми не превосходит

Предположим противное, тогда каждый из направленных углов больше (без ограничений общности считаем, что каждый из углов принимает положительное значение). Следовательно, их сумма больше C другой стороны,

тем самым получено противоречие.