Ошибка.
Попробуйте повторить позже
На доске написано 20-буквенное слово, состоящее только из букв А и В. Назовем крутизной слова количество способов стереть некоторые его буквы так, чтобы на доске остались четыре буквы, образующих комбинацию ABBA. Например, слово ABBAAB имеет крутизну 2 , поскольку нужную комбинацию можно получить двумя способами: АВВААВ и АВВААВ. Какова наибольшая возможная крутизна слова, выписанного на доске?
Источники:
Возьмём произвольное слово длины 20 и будем последовательно передвигать в нем буквы A, не уменьшая при этом крутизну слова. Ясно, что в нашем слове должно быть хотя бы две буквы B, иначе крутизна слова равна 0. Далее, предположим, что в слове между двумя буквами В есть буква А, т.е. слово имеет вид ... В. .. А. .. В ... Посмотрим, с какой стороны от буквы А больше букв А, и передвинем выделенную букву А в тот конец слова, где их меньше. Заметим, что при таком перемещении буквы А мы могли разрушить лишь слова вида ABBA и ABBA, которые давали вклад в размер крутизны исходного слова. Предположим, что мы переместили букву К налево. Тогда слова вида ABBA сохранились, а вместо слов вида ABBA, образованных буквой В слева от и двух букв В и буквы , мы получим как минимум столько же слов, которые образуются из нашей передвинутой буквы , двух любых букв У и любой буквы А, которая стояла в исходном слове справа от буквы А. Получается, что мы можем рассматривать только слова вида А...АВ...ВА...А. Если в левом блоке будет букв А, а в правом букв А, то крутизна такого слова равна .
Заметим, что при фиксированной сумме произведение будет максимальным, если числа и отличаются не больше чем на 1: в противном случае, если, например, , то переместим одну букву из левого блока в правый, и крутизна изменится на
Таким образом, можно считать, что или , причем (иначе в нашем слове не будет или букв А, или букв В). Теперь возьмем слово, в котором , и заменим последнюю букву В на букву А. При такой замене крутизна слова изменится на величину
Значит, при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при уменьшается. Аналогично, посмотрим, что произойдёт, если в слове, в котором , заменить первую букву В на букву A:
Получается, что при крутизна слова после такой замены увеличивается, а при - уменьшается. Значит, мы можем последовательно совершать такие замены, сводя величину к значению 5 и увеличивая в процессе крутизну. В итоге, наибольшая крутизна будет у слова, в котором , и равна она .
Замечание.
Последнюю часть решения можно провести по-другому. А именно, рассмотрим крутизну слова, в котором , как функцию от . Вычислим ее производную: . Нас интересует натуральная точка из отрезка , которая наиболее близка к нулю этой производной. Поскольку , в качестве такой точки необходимо выбрать число , что и приводит нас к примеру. Аналогичные вычисления для случая также дают значение , но крутизна такого слова оказывается меньше.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное обучение
в Школково
Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!