Отметим все стрелок на одном циферблате. Заметим, что минимальное время будет заведомо достигаться в начальном положении одной из стрелок (если мы все стрелки сдвинули по часовой стрелке, то можно уменьшить время перевода на часов, уменьшив время перевода для каждой стрелки на час).

Наши шесть стрелок разбили циферблат на 6 секторов. Пронумеруем наши стрелки числами от до и обозначим через размер сектора, идущего после -ой стрелки (в часах). Если все стрелки мы перевели в положение то первую стрелку мы не переводили, вторую мы перевели на часов, …, шествую перевели на часов. Тогда суммарное время перевода в этом случае будет равно

Если мы проделаем аналогичные рассуждения для других пяти положений а потом сложим, то в сумме получится

Тогда для какого-то из положений сумма будет не больше, чем часов. То есть можно выбрать такое положение, что суммарное время перевода будет не больше, чем часов.

Осталось привести пример, показывающий, что эта оценка достигается. Можно поставить стрелки через каждые часа (то есть первые часы на часов, вторые — на часа, …, шестые — на часов). Из нашей оценки минимальное время перевода будет в одном из этих положений. Но легко видеть, что в каждом положении суммарное время перевода действительно равно часам.