Рассмотрим отдельно два случая.

Точка лежит вне Сделаем проективное преобразование, при котором окружность перейдет в окружность, а точка — в бесконечно удаленную точку, т. е. образы всех прямых, проходящих через будут друг другу параллельны. Тогда образом искомого ГМТ является прямая — их общий перпендикуляр, проходящий через центр окружности. (Для доказательства нужно воспользоваться симметрией относительно прямой ) Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая, проходящая через точки касания с касательными, проведенными через точку

Точка лежит внутри Сделаем проективное преобразование, при котором окружность перейдет в окружность, а точка — в ее центр. Тогда в обеих задачах образом искомого ГМТ является бесконечно удаленная прямая. Следовательно, само искомое ГМТ есть прямая.

Замечание. Полученная прямая в обоих случаях совпадает с полярой точки относительно