Тема . Многочлены
Свойства коэффициентов многочленов, раскрытие скобок и бином Ньютона
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела многочлены
Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#85573

Многочлен P(x)  с вещественными коэффициентами удовлетворяет условиям: P(0)=1;(P (x))2 =1 +x +x100 ⋅Q (x)  для некоторого многочлена Q (x).  Докажите, что у многочлена        100
(P(x)+ 1)  коэффициент перед  99
x  равен 0.

Показать доказательство

Поскольку P(0) =1,  откуда P(x)=x ⋅S(x)+ 1.  Рассмотрим многочлен

        100         100         100   100     100
(P(x)+ 1)  + (P (x)− 1)  = (P(x)+ 1)   +x   ⋅S (x)

Раскрыв скобки по биному Ньютона в данном многочлене, получим, что

        100         100      100   100      2     2   0
(P(x)+1)  + (P (x)− 1)  = 2⋅(C100P(x)  +...+C100P(x) + C100)

Подставив P(x)2 =1+ x+ x100⋅Q (x),  получим многочлен, у которого коэффициент при x99  в каждом из слагаемых 2C21k00(1+ x+ x100⋅Q(x))k  равен 0 (так как k ≤50  ). С другой стороны коэффициент при x99  у многочлена (P (x)− 1)100  также равен 0.  Значит, и у многочлена (P(x)+1)100  коэффициент при x99  также равен 0.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное обучение
в Школково

Для детей ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Брянской областей, а также школьникам, находящимся в пунктах временного размещения Крыма обучение на платформе бесплатное.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ или олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse
cyberpunkMouse
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!