Подсказка 1

Давайте подумаем, каким образом нам можно число, которое кратно 9, независимо от остатка, который будет нами получен на каждом этапе вычеркивания. Удобная конструкция для нас - чтобы в течение 9 шагов у нас постоянно менялся остаток и не повторялся. Тогда, за 9 шагов у нас точно будет момент, когда остаток равнялся 0. Попробуйте придумать такую конструкцию.

Подсказка 2

Давайте попробуем вычеркнуть все 9 из числа(действительно, к чему бы они, если на деление на 9 они никак не влияют). Значит, если докажем, что в какой-то момент было число кратное 9 у полученного числа, то и у начального оно тоже было. Также, заметим, что под нашу конструкцию из первой подсказки подходит вариант, когда у нас стоит много одинаковых цифр подряд(хотя бы 9), взаимнопростых с 9, ведь там будет постоянно меняться остаток. То есть, нам надо набрать много одинаковых цифр подряд. Как это можно сделать?

Подсказка 3

Заметим, что чисел 8 у нас очень много. Больше чем 9 раз суммарно всех остальных. Давайте разобьем наше число на блоки по 9 цифр, которые не пересекаются. Что можно сказать про эти блоки? А что тогда надо доказывать в условиях на восьмерку?

Подсказка 4

Остается доказать, что найдется блок из цифр, равных 8. И это правда, так как иначе, в каждом блоке есть цифра, которая не 8 и тогда, цифр, не равных 8, у нас хотя бы 1/9 от общего количества. Противоречие. Значит, есть блок восьмерок. Победа.