Тема Стереометрия в координатах
04 Задачи на поиск угла
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела стереометрия в координатах
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#22084

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.  

⃗a  = ( )
 3
|| ||
(4) ,
 2  ⃗
b  = (   )
  − 1
||   ||
(  0) .
   1

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = 3 ⋅(− 1)+ 4⋅0 +2 ⋅1 = − 1

Найдем модули векторов:

    ∘ -----------   --       ∘ --------------   -
|a| =  32 + 42 +22 = √29 |b| =  (− 1)2 + 02 + 12 = √ 2

Подставим найденные значения в формулу:

                − 1           − 1
∠(⃗a,⃗b) = arccos√----√--= arccos√---
               29⋅  2          58

Ответ:

arccos√−518

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#22083

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.  

⃗a  = (   )
 − 3
||   ||
(− 3) ,
  3  ⃗
b  = ( )
  3
|| ||
( 3) .
  6

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = (− 3)⋅3+ (− 3)⋅3 + 3⋅6 = 0

Подставив ноль в числитель, получим ∠ (⃗a,⃗b) = arccos(0) ⇒ ∠(⃗a,⃗b) = π2

Следовательно, ⃗a ⊥ ⃗b  .

Ответ:

∠ (⃗a,⃗b) = π2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#22082

Даны два вектора, перпендикулярны ли они? В ответ запишите слово "да" или "нет" (без кавычек с маленькой буквы), если векторы перпендикулярны или не перпендикулярны, соответственно.  

⃗a  = (− 3)
|   |
|(− 3|) ,

 − 3  ⃗b  = ( 3)
| |
|( 3|) .

  3

Показать ответ и решение

Чтобы установить перпендикулярность векторов, нужно найти их скалярное произведение. Если скалярное произведение равно нулю, то вектора перпендикулярны.

⃗a ×⃗b = (− 3)⋅3 +(− 3)⋅3+ (− 3)⋅3 = − 27

Следовательно, вектора не перпендикулярны.

Ответ: нет

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#22085

Даны два вектора. Требуется найти угол между ними.  

⃗a  = (   )
  3
||   ||
( 0 ) ,
 − 5  ⃗
b  = ( )
  0
|| ||
( 3) .
  7

Показать ответ и решение

Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a ×⃗b = 3⋅0 +0 ⋅3+ (− 5)⋅7 = − 35

Найдем модули векторов:

     ∘ --------------   --      ∘ -----------   --
|a| =  32 + 02 + (− 5)2 = √ 34 |b| = 02 + 32 + 72 = √58

Подставим найденные значения в формулу:

                − 35            − 35
∠(⃗a,⃗b) = arccos√---√---= arccos -√----
               34 ⋅ 58         2 493

Ответ:

∠ (⃗a,⃗b) = arccos2−√34593

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#23669

Дана прямая и плоскость. Необходимо найти угол между прямой и плоскостью

  (  )   (  )     (    )
    x      6         9
l :|| y|| = || 1|| + α ⋅|| 5 ||
  (  )   (  )     (    )
    z      2        − 6

   (  )   (  )     (  )     (  )
     x      6        1        0
P :|| y|| = || 3|| + β ⋅|| 0|| + γ ⋅|| 2||
   (  )   (  )     (  )     (  )
     z      6        5        4

Показать ответ и решение

См. 9 базовую задачу из методички.

Ответ:

      √---
arccos 7301√6751

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#23668

Дана прямая и плоскость. Необходимо найти угол между прямой и плоскостью

  (  )   (  )     (  )
    x      1        1
l :|| y|| = || 0|| + α ⋅|| 2||
  (  )   (  )     (  )
    z      1        0

   (  )   (  )     (   )      (   )
     x      0         2         1
P :|| y|| = || 0|| + β ⋅|| − 3|| +γ ⋅|| − 2||
   (  )   (  )     (   )      (   )
     z      0        − 1        0

Показать ответ и решение

См. 9 базовую задачу из методички

Ответ:

     √---
arccos-11055

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#23667

Дана прямая и плоскость. Необходимо найти угол между прямой и плоскостью

  (  )   (  )     (    )
    x      0         0
l :|| y|| = || 0|| + α ⋅|| √3-||
  (  )   (  )     (    )
    z      0         1

   (  )   (  )     (  )     (  )
     x      0        1        0
P :|| y|| = || 3|| + β ⋅|| 0|| + γ ⋅|| 0||
   (  )   (  )     (  )     (  )
     z      4        0        1

Показать ответ и решение

См. 9 базовую задачу из методички.

Ответ:

π3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#23666

Дана прямая и плоскость. Необходимо найти угол между прямой и плоскостью

  (  )   (  )     (  )
    x      2        3
l :|| y|| = || 0|| + α ⋅|| 0||
  (  )   (  )     (  )
    z      2        3

   (  )   (  )     (  )     (  )
     x      0        0        0
P :|| y|| = || 3|| + β ⋅|| 1|| + γ ⋅|| 0||
   (  )   (  )     (  )     (  )
     z      4        0        1

Показать ответ и решение

См. 9 базовую задачу из методички.

Ответ:

π4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#22089

Даны две различные прямые

 

   (  )   (   )     (   )     (  )   (   )     (   )
     x      4         10        x      − 2       − 7
   ||  ||   ||   ||     ||   ||     ||  ||   ||   ||     ||   ||
l1 :( y) = ( 3 ) + α ( 3 ) , l2 :( y) = ( 5) + β ( 0 )
     z      − 2      − 6        z      − 3       9 .

 

Найдите угол, лежащий между заданными прямыми.

Показать ответ и решение

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Обозначим направляющие вектора прямых    l1,l2  , как ⃗a,⃗b  соответственно. Тогда наша задача сводится к поиску угла между векторами     (   )     (   )
      10        − 7
⃗a = || 3 || ,⃗b = || 0 ||
    (   )     (   )
     − 6        9 . Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = 10 ⋅(− 7)+ 3⋅0 + (− 6)⋅9 = − 124

Найдем модули векторов:

     ∘ --------------  √ ---      ∘ --------------  √---
|a| =  102 + 32 + (− 6)2 = 145 |b| = (− 7)2 + 02 + 92 = 130

Подставим найденные значения в формулу:

                 − 124           − 124
∠ (⃗a,⃗b) = arccos√----√----= arccos √-----
               145 ⋅ 130         5 754

Так как получившийся угол тупой, в ответ напишем π − arccos5−√172454  .

Ответ:

∠ (l1,l2) = π − arccos5−√172544

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#22088

Даны две различные прямые

 

   (  )   (   )     (   )     (  )   (   )     (   )
     x      4         1         x       1        0
   ||  ||   ||   ||     ||   ||     ||  ||   ||   ||     ||   ||
l1 :( y) = ( − 4) + α ( 1 ) , l2 :( y) = ( 6) + β ( − 3)
     z      2        − 4        z      − 5       6 .

 

Найдите угол между заданными прямыми.

Показать ответ и решение

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Обозначим направляющие вектора прямых    l1,l2  , как ⃗a,⃗b  соответственно. Тогда наша задача сводится к поиску угла между векторами     (   )     (   )
      1         0
⃗a = || 1 || ,⃗b = || − 3||
    (   )     (   )
     − 4        6 . Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a× ⃗b = 1 ⋅0+ 1⋅(− 3) + (− 4)⋅6 = − 27

Найдем модули векторов:

     ∘ -----------------  √ -      ∘ --------------   √-
|a| =  12 + (− 1)2 + (− 4)2 = 3 2 |b| = 02 + (− 3)2 + 62 = 3 5

Подставим найденные значения в формулу:

                − 27           − 3
∠(⃗a,⃗b) = arccos-√----√--= arccos √---
              3 2 ⋅3 5          10

Так как получившийся угол тупой, в ответ напишем π − arccos√−130  .

Ответ:

∠ (l1,l2) = π − arccos√−130

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#22087

Даны две различные прямые

 

   (  )   (   )     (   )     (  )   (   )     (   )
     x      − 2       2         x       1        − 5
   ||  ||   ||   ||     ||   ||     ||  ||   ||   ||     ||   ||
l1 :( y) = ( − 1) + α ( 2 ) , l2 :( y) = ( 4) + β ( 3 )
     z      3        − 3        z      − 2       0 .

 

Найдите угол между заданными прямыми.

Показать ответ и решение

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Обозначим направляющие вектора прямых    l1,l2  , как ⃗a,⃗b  соответственно. Тогда наша задача сводится к поиску угла между векторами     (   )     (   )
      2         − 5
⃗a = || 2 || ,⃗b = || 3 ||
    (   )     (   )
     − 3        0 . Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a ×⃗b = 2⋅(− 5)+ 2 ⋅3+ (− 3)⋅0 = − 4

Найдем модули векторов:

    ∘ --------------  √--       ∘ -------------- √ --
|a| =  22 + 22 +(− 3)2 = 17  |b| =  (− 5)2 + 32 + 02 = 34

Подставим найденные значения в формулу:

                − 4            − 4
∠(⃗a,⃗b) = arccos√----√---= arccos--√--
               17⋅  34        17  2

Так как получившийся угол тупой, в ответ напишем π − arccos1−74√2  .

Ответ:

∠ (l1,l2) = π − arccos1−74√2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#22086

Даны две различные прямые

 

   (  )   (   )     (   )     (  )   (  )    (   )
     x      1         3         x      1       − 1
   ||  ||   ||   ||     ||   ||     ||  ||   ||  ||    ||   ||
l1 :( y) = ( − 1) + α ( 2 ) , l2 :( y) = ( 3) + β( 1)
     z      1        − 1        z      2        1 .

 

Найдите угол между заданными прямыми.

Показать ответ и решение

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами. Обозначим направляющие вектора прямых    l1,l2  , как ⃗a,⃗b  соответственно. Тогда наша задача сводится к поиску угла между векторами     (   )     (   )
      3         − 1
⃗a = || 2 || ,⃗b = || 1 ||
    (   )     (   )
     − 1        1 . Найдем угол между векторами через формулу скалярного произведения:

⃗a ×⃗b = |⃗a|⋅|⃗b|⋅cos ∠(⃗a,⃗b)

Отсюда выразим угол:

              ⃗a× ⃗b
∠(⃗a,⃗b) = arccos----⃗-
             |⃗a|⋅|b|

Найдём скалярное произведение:

⃗a ×⃗b = 3⋅(− 1)+ 2 ⋅1+ (− 1)⋅1 = − 2

Найдем модули векторов:

     ∘ -------------- √ --      ∘ --------------  √-
|a| =  32 + 22 + (− 1)2 = 14 |b| = (− 1)2 + 12 + 12 = 3

Подставим найденные значения в формулу:

                − 2           − 2
∠(⃗a,⃗b) = arccos√----√--= arccos√---
               14⋅  3          42

Так как получившийся угол тупой, в ответ напишем π − arccos√−422  .

Ответ:

∠ (l1,l2) = π − arccos√−422

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!