Задачи на расстояния —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80067

Найдите координаты вершины $D$ параллелограмма $ABCD,$ если координаты трех других его вершин известны: $A(1;0;1),$ $B(1;2;9),$ $C(5;6;11).$

Показать ответ и решение

В параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. Следовательно, $−A→B = −D−→C.$ Пусть $D(x;y;z).$ Тогда $−A→B{0;2;8},−D−→C {5− x;6− y;11 − z}.$ Векторы равны, а значит равны их координаты, то есть

( ( |{0 = 5− x, |{ x= 5, |(2 = 6− y, |( y = 4, 8 = 11− z. z = 3.

Ответ:

$D (5;4;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#80066

Даны точки $A(3;− 1;1),$ $B (1;−1;3),$ $C(−1;1;3).$ Найдите углы треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

Найдем стороны треугольника $ABC$ по формуле расстояния между точками.

AB = ∘(1−-3)2+-(−-1+-(−1))2+-(3−-1)2 = √4+-0+-4= √8-= 2√2,

BC = ∘ (−-1−-1)2+-(1−-(−1))2+-(3−-3)2-= √4+-4+-0= √8-= 2√2,

AC = ∘ (−-1−-3)2+-(1−-(−1))2+-(3−-1)2-= √16+-4+-4= √24-= 2√6.

Заметим, что треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC.$ Пусть $∠A = α,∠B = β,∠C =γ.$ Тогда $α = γ.$ Найдем $α$ по теореме косинусов:

BC2 = AC2 + AB2− 2AB ⋅BC ⋅cosα,

AC2 + AB2 − BC2 24+ 8− 8 24 3 √3 cosα = ----2AB-⋅AC---- = ---√---√--= √---= -√--= 2-. 2⋅2 2 ⋅2 6 8 12 2 3

Следовательно, $α =γ = 30∘.$ Тогда по теореме о сумме углов треугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ β = 180 − α− γ =180 − 30 − 30 = 120 .

Ответ:

$∠A = 30∘,∠B = 120∘,∠C = 30∘$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#80064

На прямой $Ox$ найдите точку $M,$ равноудаленную от двух данных точек $A (2;5;9)$ и $B (−1;9;5).$

Показать ответ и решение

координаты точки, лежащей на прямой $Ox,$ в общем виде можно записать так: $M (x;0;0).$ Так как наша точка $M$ равноудалена от точек $A$ и $B,$ то $MA = MB.$ По формуле расстояния между точками:

∘ ----------------------- ∘ ----------------- ∘ ----------- MA = (2− x)2 +(5− 0)2+ (9 − 0)2 = 4− 4x+ x2+ 25+ 81= x2− 4x + 110,

∘ ------------------------- ∘----------------- ∘ ----------- MB = (−1− x)2+ (9− 0)2+ (5− 0)2 = 1 +2x +x2 +81+ 25= x2+ 2x+ 107.

Приравняем полученные выражения и получим:

∘x2-−-4x+-110= ∘x2-+-2x+-107,

x2− 4x+ 110= x2+ 2x+ 107,

3 = 6x,

x =0,5.

Тогда $M (0,5;0;0).$

Ответ:

$(0,5;0;0)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80062

Даны точки $A(1;− 1;6)$ и $B (− 1;5;0).$ Найдите расстояние от начала координат до середины отрезка $AB.$

Показать ответ и решение

Пусть точка $M$ — середина отрезка $AB,$ $O(0;0;0)$ — начало координат. Найдем координаты $M :$

( 1+ (−1) −1+ 5 6 +0) M ---2---;--2--;--2- = (0;2;3).

Расстояние между точками вычисляется по формуле

∘ (x2−-x1)2+-(y2−-y1)2+-(z2-− z1)2.

Тогда

OM = ∘ (0-− 0)2+-(2−-0)2+-(3−-0)2-= √4+-9= √13.

Ответ:

$√ -- 13$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#23101

Найти расстояние между двумя плоскостями $P1$ и $P2$

$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 0 2 0 P1 = ||0|| + β ⋅|| 0|| + γ ⋅|| 1|| , P2 = || 0|| + β ⋅|| 0|| + γ ⋅|| 3|| ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 5 0 0$

Показать ответ и решение

Заметим, что направляющие вектора плоскостей попарно коллинеарны $→$ плоскости параллельны. Значит расстояние между плоскостями фиксированно. Тогда можно найти расстояние, как расстояние от точки $( ) 0 || 0|| ( ) 0$ до плоскости $P 2$

См.базовую задачу №6 из методички.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#23100

Найти расстояние между прямой $l$ и плоскостью $P$

$( ) ( ) 0 4 l = || 0|| + α ⋅|| 15|| ( ) ( ) 0 0$ $( ) ( ) ( ) − 4 − 7 − 4 P = || 0 || + β ⋅|| 14|| + γ ⋅|| − 15|| ( ) ( ) ( ) 0 7 1$

Показать ответ и решение

Докажем, что прямая пересекает плоскость, тогда $ρ(l,P )$ будет равно $0$ . Пусть это не так, и направляющий вектор прямой коллинеарен какому-то вектору из плоскости:
$( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 − 7 − 4 4 − 1 − 4 || || || || || || || || || || || || (15) = β ⋅( 14) + γ ⋅( − 15) ⇔ ( 15) = β ⋅( 2 ) + γ ⋅( − 15) 0 7 1 0 1 1$
$(| ||{4 = − β − 4γ 15 = 2β − 15γ |||( 0 = β + γ$ $(| ||{4 = 3β 15 = 17β |||( β = − γ$ $(| 4 ||{ β = 3 β = 1517- |||( β = − γ$

Нетрудно понять, что эта система неверна, следовательно прямая пересекает плоскость.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#23099

Найти расстояние между прямой $l$ и плоскостью $P$

$( ) ( ) 0 4 l = || 0|| + α ⋅|| 15|| ( ) ( ) 0 0$ $( ) ( ) ( ) − 4 − 7 − 4 P = || 0 || + β ⋅|| 14|| + γ ⋅|| − 15|| ( ) ( ) ( ) 0 7 0$

Показать ответ и решение

Заметим, что направляющий вектор прямой коллинеарен одному из направляющих векторов плоскости. Следовательно, прямая параллельна плоскости или лежит в ней. Тогда расстояние от каждой точки прямой к плоскости будет одинаковым. Найдем расстояние от точки прямой $l$ $( ) 0 || || (0) 0$ до плоскости $P$ .

См.базовую задачу №6 из методички.

Ответ:

$√67070-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#23098

Найти расстояние от точки $A$ до плоскости $P$ .

$( ) − 1 A = || 0 || ( ) 0$ , $( ) ( ) ( ) 0 1 0 P = ||− 4|| + α⋅|| 0|| + β ⋅|| 2|| α,β ∈ ℝ ( ) ( ) ( ) 2 − 2 1$

Показать ответ и решение

См. базовую задачу №6 из методички.

Ответ:

$√1221-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#23097

Найти расстояние от точки $A$ до плоскости $P$ .

$( ) 0 A = || 4|| ( ) 2$ , $( ) ( ) ( ) 0 0 3 P = || 0|| + α⋅|| 2|| + β ⋅|| 0 || α, β ∈ ℝ ( ) ( ) ( ) 2 1 − 2$

Показать ответ и решение

См. базовую задачу №6 из методички.

Ответ:

$√1621-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#23096

Дано уравнение прямой и две точки. Найдите точку на прямой, которая находится на равном расстоянии от этих двух точек.

$( 0) (− 1) | | | | l = |( 0|) + α ⋅|( 0 |) 0 1$ .
$( ) 3 M = || 4|| , ( ) 7$ $( ) − 5 N = || 2|| . ( ) 3$

Показать ответ и решение

Пусть точка $K$ - искомая точка, тогда:

( ) | − α | K = |( 0 |) α

Найдем вектора $−M−→K,−N−→K$ :

( ) ( ) − 3− α 5 − α −M−→K = || − 4 || , −N−→K = || − 2 || ( ) ( ) − 7+ α − 3+ α

Поставим условие на равенства длин векторов, то есть $−−→ −−→ |M K| = |N K|$ :

∘ --------------------------- ∘ ------------------------- (− 3− α)2 + (− 4)2 + (− 7+ α)2 = (5− α)2 + (− 2)2 + (− 3+ α)2

⋅⋅⋅

9 α = −- 2

Подставим найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $K$

( 9 ) | 2 | || || K = |( 0 |) − 9 2

Ответ:

$( 9 ) | 2 | || || |( 0 |) − 9 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#23095

Дано уравнение прямой и две точки. Найдите точку на прямой, которая находится на равном расстоянии от этих двух точек.

$( 1) (3) | | | | l = |( 1|) + α ⋅|(2|) 1 1$ .
$( ) 2 M = || 1|| , ( ) 3$ $( ) 5 N = || 4|| . ( ) 3$

Показать ответ и решение

Пусть точка $K$ - искомая точка, тогда:

( ) | 1+ 3α| K = |( 1+ 2α|) 1+ α

Найдем вектора $−M−→K,−N−→K$ :

( ) ( ) − 1+ 3α − 4+ 3α −M−→K = || 2α || , −N−→K = || − 3+ 2α|| ( ) ( ) − 2 +α − 2+ α

Поставим условие на равенства длин векторов, то есть $−−→ −−→ |M K| = |N K|$ :

∘ --------------------------- ∘ -------------------------------- (− 1+ 3α)2 + (2α)2 + (− 2 + α)2 = (− 4 +3α )2 + (− 3+ 2α)2 + (− 2 + α)2

⋅⋅⋅

4 α = - 5

Подставим найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $K$

( 17) | -5| || 13|| K = || -5|| ( 9) 5

Ответ:

$(17 ) |-5 | ||13 || ||-5 || ( 9 ) 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#23094

Дано уравнение прямой и две точки. Найдите точку на прямой, которая находится на равном расстоянии от этих двух точек.

$( 0) (1) | | | | l = |( 1|) + α ⋅|(1|) 2 1$ .
$( ) 0 M = || 3|| , ( ) 7$ $( ) 3 N = || 0|| . ( ) − 5$

Показать ответ и решение

Пусть точка $K$ - искомая точка, тогда:

( ) | α | K = |( 1+ α |) 2+ α

Найдем вектора $−M−→K,−N−→K$ :

( ) ( ) α − 3+ α −M−→K = || − 2+ α|| , −N−→K = || 1 + α || ( ) ( ) − 5+ α 7 + α

Поставим условие на равенства длин векторов, то есть $−−→ −−→ |M K| = |N K|$ :

∘ ------------------------ ∘ --------------------------- α2 + (− 2 + α)2 + (− 5 +α )2 = (− 3+ α)2 + (1+ α )2 + (7 + α)2

⋅⋅⋅

5 α = −- 4

Подставим найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $K$

( 5) | − 4| || 1|| K = || − 4|| ( 3 ) 4

Ответ:

$( 5) |− 4| || 1|| ||− 4|| ( 3 ) 4$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#23093

Дано уравнение прямой и две точки. Найдите точку на прямой, которая находится на равном расстоянии от этих двух точек.

$( 0) (1) | | | | l = |( 1|) + α ⋅|(1|) 2 1$ .
$( ) 1 M = || 0 || , ( ) − 2$ $( ) 1 N = ||0|| . ( ) 1$

Показать ответ и решение

Пусть точка $K$ - искомая точка, тогда:

( ) | α | K = |( 1+ α |) 2+ α

Найдем вектора $−M−→K,−N−→K$ :

( ) ( ) − 1+ α − 1+ α −M−→K = || 1+ α || , −N−→K = || 1 + α || ( ) ( ) 4+ α 1 + α

Поставим условие на равенства длин векторов, то есть $−−→ −−→ |M K| = |N K|$ :

∘ --------------------------- ∘ --------------------------- (− 1 + α)2 + (1+ α)2 + (4+ α)2 = (− 1+ α)2 + (1+ α)2 + (1+ α)2

⋅⋅⋅

5 α = −- 2

Подставим найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $K$

( 5) | − 2| || 3|| K = || − 2|| ( 1) − 2

Ответ:

$( 5) |− 2| || 3|| ||− 2|| ( 1) − 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#23092

Дано уравнение прямой и две точки. Найдите точку на прямой, которая находится на равном расстоянии от этих двух точек.

$( 1) ( 1) | | | | l = |( 2|) +α ⋅|( 1|) − 1 2$ .
$( ) − 4 M = || 3 || , ( ) − 5$ $( ) 2 N = ||− 1|| . ( ) 1$

Показать ответ и решение

Пусть точка $K$ - искомая точка, тогда:

( ) | 1+ α | K = |( 2+ α |) − 1 + 2α

Найдем вектора $−M−→K,−N−→K$ :

( ) ( ) 5 + α − 1+ α −M−→K = || − 1 +α || , −N−→K = || 3 + α || ( ) ( ) 4+ 2α − 2+ 2α

Поставим условие на равенства длин векторов, то есть $−−→ −−→ |M K| = |N K|$ :

∘ ---------------------------- ∘ ------------------------------ (5 + α)2 + (− 1+ α)2 + (4+ 2α )2 = (− 1+ α)2 + (3+ α)2 +(− 2+ 2α)2

⋅⋅⋅

α = − 1

Подставим найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $K$

( ) | 0 | K = |( 1 |) − 3

Ответ:

$( ) | 0 | |( 1 |) − 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#23091

Дана точка, нужно найти точку на оси Z, находящуюся на расстоянии 5 от данной.

$( ) 3 || || M = ( 0 ) − 1$

Показать ответ и решение

Найдем уравнение прямой OZ:

( ) ( ) | 0| | 0| OZ = |( 0|) + α⋅|( 0|) ,α ∈ R 0 1

Пусть искомая точка $N$ лежит на этой прямой.

( ) ( ) 0 + 0⋅α 0 N = ||0 + 0⋅α|| = || 0|| ( ) ( ) 0 + 1⋅α α

Найдем вектор $−−→ N M$ :

( ) | 3 | −N−→M = |( 0 |) − 1− α

Скажем, что длина $−N−→M = 5$

∘ -2---2----------2 3 + 0 + (− 1− α) = 5

⋅⋅⋅

α = 3, α = − 5

Подставим любое найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $N$

( ) | 0| N = |( 0|) 3

Ответ:

$( ) |0| |(0|) 3$ или $( ) | 0 | |( 0 |) − 5$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#23090

Дана точка, нужно найти точку на оси OY, находящуюся на расстоянии 3 от данной.

$( ) 2 || || M = (5) 1$

Показать ответ и решение

Найдем уравнение прямой OY:

( ) ( ) | 0| | 0| OY = |( 0|) + α⋅|( 1|) ,α ∈ R 0 0

Пусть искомая точка $N$ лежит на этой прямой.

( ) ( ) 0 + 0⋅α 0 N = ||0 + 1⋅α|| = || α|| ( ) ( ) 0 + 0⋅α 0

Найдем вектор $−−→ N M$ :

( ) | 2 | −N−→M = |( 5− α |) 1

Скажем, что длина $−N−→M = 3$

∘ -2--------2---2- 2 + (5− α) + 1 = 3

⋅⋅⋅

α = 3, α = 7

Подставим любое найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $N$

( ) | 0| N = |( 3|) 0

Ответ:

$( ) |0| |(3|) 0$ или $( ) | 0| |( 7|) 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#23089

Дана точка, нужно найти точку на оси OY, находящуюся на расстоянии 11 от данной.

$( ) 7 || || M = (4) 6$

Показать ответ и решение

Найдем уравнение прямой OY:

( ) ( ) | 0| | 0| OY = |( 0|) + α⋅|( 1|) ,α ∈ R 0 0

Пусть искомая точка $N$ лежит на этой прямой.

( ) ( ) 0 + 0⋅α 0 N = ||0 + 1⋅α|| = || α|| ( ) ( ) 0 + 0⋅α 0

Найдем вектор $−−→ N M$ :

( ) | 7 | −N−→M = |( 4− α |) 6

Скажем, что длина $−N−→M = 11$

∘ -2--------2----2 7 +(4 − α ) + 6 = 11

⋅⋅⋅

α = 10, α = − 2

Подставим любое найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $N$

( ) | 0| N = |(10|) 0

Ответ:

$( ) | 0| |(10|) 0$ или $( ) | 0 | |( − 2|) 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#23088

Дана точка, нужно найти точку на оси OX, находящуюся на расстоянии 7 от данной.

$( ) 13 || || M = ( 6) 3$

Показать ответ и решение

Найдем уравнение прямой OX:

( ) ( ) | 0| | 1| OX = |( 0|) + α⋅|( 0|) ,α ∈ R 0 0

Пусть искомая точка $N$ лежит на этой прямой.

( ) ( ) 0 + 1⋅α α N = ||0 + 0⋅α|| = || 0|| ( ) ( ) 0 + 0⋅α 0

Найдем вектор $−−→ N M$ :

( ) | 13− α| −N−→M = |( 6 |) 3

Скажем, что длина $−N−→M = 7$

∘ -------2---2----2 (13− α ) +6 + 3 = 7

⋅⋅⋅

α = 11, α = 15

Подставим любое найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $N$

( ) |15| N = |( 0|) 0

Ответ:

$( ) |15| |( 0|) 0$ или $( ) | 11| |( 0|) 0$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#23087

Дана точка, нужно найти точку на оси OX, находящуюся на расстоянии 5 от данной.

$( ) 6 || || M = (3) 4$

Показать ответ и решение

Найдем уравнение прямой OX:

( ) ( ) | 0| | 1| OX = |( 0|) + α⋅|( 0|) ,α ∈ R 0 0

Пусть искомая точка $N$ лежит на этой прямой.

( ) ( ) 0 + 1⋅α α N = ||0 + 0⋅α|| = || 0|| ( ) ( ) 0 + 0⋅α 0

Найдем вектор $−−→ N M$ :

( ) | 6− α | −N−→M = |( 3 |) 4

Скажем, что длина $−N−→M = 5$

∘ ------2---2---2- (6− α) + 3 + 4 = 5

⋅⋅⋅

α = 6

Подставим найденное значение $α$ и найдем координаты искомой точки $N$

( ) | 6| N = |( 0|) 0

Ответ:

$( ) |6| |(0|) 0$