Пусть — трапеция с основаниями и Так как трапеция равнобедренная, то

Пусть

Трапеция описанная, значит, по свойству описанного четырехугольника

По условию периметр трапеции равен 160, то есть

Тогда

Пусть Тогда

Опустим высоты и Так как площадь трапеции равна произведению полусумме оснований на высоту, то

Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то они параллельны. Так как и то

Рассмотрим четырехугольник В нем и как основания трапеции, следовательно,

Тогда — параллелограмм и по свойству параллелограмма.

Рассмотрим треугольники и В них как углы при основании равнобедренной трапеции и

Тогда треугольники и равны по острому углу и гипотенузе. как соответственные элементы.

В треугольнике по теореме Пифагора

Значит, Так как то

Найдем

Проведем высоту проходящую через точку Так как — высота трапеции, то

Рассмотрим треугольники и В них как накрест лежащие углы при параллельных прямых и а как вертикальные.

Тогда по двум углам. Значит, отношение их соответственных высот равно коэффициенту подобию, то есть

Пусть Тогда

Так как расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного на эту прямую из точки, то расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до ее меньшего основания — длина то есть