16. Окружность —Каталог задач по ОГЭ - Математика

Тема 16. Окружность

16.01 Окружность

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Разделы подтемы Окружность

Задачи №16 из банка ФИПИ

Нахождение углов в окружности, нахождение площади

Нахождение длин в окружности

Описанная и вписанная окружности

Подтемы раздела окружность

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#45337

Треугольник $ABC$ вписан в окружность с центром в точке $O.$ Точки $O$ и $C$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $AB.$ Найдите угол $ACB,$ если угол $AOB$ равен $73∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, то

1 1 ∘ ∘ ∠ACB = 2∠AOB = 2 ⋅73 = 36,5

Ответ: 36,5

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#46324

Отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O.$ Угол $ACB$ равен $53∘.$ Найдите угол $AOD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$BO =OC$ как радиусы. Значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠OBC = ∠OCB = 53∘.$

$PIC$

$∠AOD = ∠BOC$ как вертикальные. Найдём $∠BOC$ по теореме о сумме углов треугольника:

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠AOD = ∠BOC = 180 − ∠OBC − ∠BCO = 180 − 53 − 53 = 74

Ответ: 74

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#57323

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Найдите угол $ABC,$ если угол $BAC$ равен $37∘.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Угол $ACB$ — вписанный и опирается на диаметр $AB,$ значит, $∠ACB = 90∘.$ В треугольнике $ABC$ по теореме о сумме углов треугольника

∠ABC = 180∘ − ∠ACB − ∠BAC =180∘− 90∘− 37∘ = 53∘

Ответ: 53

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#42139

Центр окружности, описанной около треугольника $ABC,$ лежит на стороне $AB.$ Радиус окружности равен $20,5.$ Найдите $BC,$ если $AC = 9.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, $∠ACB = 90∘.$ $AO = OB =20,5$ как радиусы. Тогда

AB = 20,5+ 20,5 = 41

$PIC$

В треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

BC = ∘AB2--−-AC2-= ∘412−-92 = √1600-=40

Ответ: 40

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44276

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $38∘,$ угол $CAD$ равен $33∘.$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, то

∘ ∠CBD = ∠CAD = 33

Найдём $∠ABD :$

∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 38∘− 33∘ = 5∘

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#38719

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $132∘,$ угол $CAD$ равен $∘ 80 .$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$∠CAD = ∠CBD$ как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $CD.$ Таким образом,

∘ ∘ ∘ ∠ABD = ∠ABC − ∠CBD = 132 − 80 = 52

Ответ: 52

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#26575

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABC$ равен $∘ 92 ,$ угол $CAD$ равен $∘ 60 .$ Найдите угол $ABD.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠CBD =∠CAD$ как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, из этого следует, что $∘ ∠DBC = 60 .$

Тогда

∠ABD = ∠ABC − ∠DBC = 92∘− 60∘ = 32∘

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#47085

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N.$ Известно, что $∠NBA = 68∘.$ Найдите угол $NMB.$ Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Рассмотрим треугольник $ANB.$ $∠ANB = 90∘$ как угол, опирающийся на диаметр, $∠NBA = 68∘.$ По теореме о сумме углов треугольника

∠NAB = 180∘− ∠ANB − ∠NBA = 180∘ − 90∘− 68∘ = 22∘

Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

∠NMB = ∠NAB = 22∘

Ответ: 22

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#26574

На окружности по разные стороны от диаметра $AB$ взяты точки $M$ и $N$ . Известно, что $∠N BA = 41∘$ . Найдите угол $NM B$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠N M B = ∠N AB$ , как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу.

Так как $AB$ — диаметр, то $∠AN B = 90∘$ . Тогда треугольник $AN B$ — прямоугольный и

∘ ∘ ∘ ∘ ∠N AB = 90 − ∠N BA = 90 − 41 = 49

Тогда $∘ ∠N M B = ∠N AB = 49$

Ответ: $49∘$

Ответ: 49

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37451

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность. Угол $ABD$ равен $37∘,$ угол $CAD$ равен $58∘.$ Найдите угол $ABC$ . Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как четырехугольник $ABCD$ вписанный, то $∠CAD =∠CBD = 58∘$ . Следовательно,

∠ABC = 37∘+ 58∘ = 95∘

$PIC$

Ответ: 95

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#45676

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $33∘.$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$ABCD$ — вписанный четырёхугольник. По свойству вписанного четырёхугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠A +∠C =180 ⇒ ∠C = 180 − ∠A = 180 − 33 = 147

Ответ: 147

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#42497

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $37∘.$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Сумма противоположных углов вписанного в окружность четыругольника равна $180∘.$ То есть

∠A +∠C = 180∘ ∠C =180∘− ∠A = 180∘− 37∘ =143∘

Ответ: 143

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#26584

Угол $A$ четырёхугольника $ABCD,$ вписанного в окружность, равен $∘ 62 .$ Найдите угол $C$ этого четырёхугольника. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

Заметим, что $∠BAD$ опирается на меньшую дугу $BD,$ а $∠BCD$ — на большую дугу $BD.$ Тогда сумма этих углов равна $180∘.$ Таким образом,

∠BAD + ∠BCD = 180∘ ⇔ ∠BCD = 180∘− ∠BAD = 180∘ − 62∘ = 118∘

Значит, $∘ ∠C = 118 .$

Ответ: 118

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#61037

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $83∘.$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству трапеции

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠B = 180 ⇒ ∠B = 180 − 83 = 97 .

Ответ: 97

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#42805

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $52∘.$ Найдите угол $B$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$ABCD$

Показать ответ и решение

Так как у трапеции основания параллельны, то сумма внутренних односторонних углов равна $180∘,$ то есть

∠A +∠B = 180∘ ∘ ∘ ∘ ∘ ∠B =180 − ∠A = 180 − 52 =128

Ответ: 128

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#54954

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $77∘.$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству вписанного четырёхугольника

∘ ∘ ∘ ∘ ∠A + ∠C = 180 ⇒ ∠C = 180 − 77 = 103

Ответ: 103

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#26582

Угол $A$ трапеции $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC,$ вписанной в окружность, равен $∘ 76 .$ Найдите угол $C$ этой трапеции. Ответ дайте в градусах.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Заметим, что $∠BAD$ опирается на меньшую дугу $BD,$ а $∠BCD$ — на большую дугу $BD.$ Тогда сумма этих углов равна $180∘.$

∠BAD + ∠BCD = 180∘ ⇔ ∠BCD = 180∘− ∠BAD = 180∘ − 76∘ = 104∘

То есть $∘ ∠C = 104$

Ответ: 104

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#26585

Трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ описана около окружности, $AB = 9,BC = 7,CD = 11.$ Найдите $AD.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Так как четырехугольник $ABCD$ описан около окружности, то

AB + CD = BC + AD ⇔ AD = AB + CD − BC = 9 +11 − 7 = 13

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#57325

Периметр треугольника равен 110, одна из сторон равна 38, а радиус вписанной в него окружности равен 10. Найдите площадь этого треугольника.

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности. Периметр треугольника по условию равен 110, следовательно, полупериметр треугольника равен $1120= 55.$ Найдём площадь треугольника:

S = 55⋅10= 550

Ответ: 550

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#43933

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен 12. Найдите высоту этой трапеции.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть точки $K$ и $M$ — точки касания $BC$ и $AD$ с окружностью. Так как касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, то

OK ⊥BC OM ⊥ AD ⇒ OM ⊥ BC

Значит, точки $O,$ $M$ и $K$ лежат на одной прямой, так как прямые, перепендикулярные третьей прямой, параллельны. Тогда $KM$ — высота. Так как $OM$ и $OK$ — радиусы, то

KM = OM + OK = 12 + 12 = 24

Ответ: 24

Предыдущий раздел

Следующий раздел