График квадратичной функции (парабола) —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
График квадратичной функции (парабола)

Тема 11. Задачи на свойства графиков функций

11.03 График квадратичной функции (парабола)

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи на свойства графиков функций

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#31968

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a$ , $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) + y0,

где $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(4;1).$ Также ветви параболы направлены вверх, значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 4)2 +1, где a> 0

По картинке видно, что в точке $x = 3$ функция равна 4. Для того чтобы попасть в точку $(3;4)$ из вершины с координатами $(4;1),$ нам нужно сместиться на 1 влево и на 3 вверх. Тогда понятно, что перед нами график функции $y = 3x2,$ вершину которого сместили из точки $(0;0)$ в точку $(4;1).$ Значит, теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

2 f(x)= 3(x− 4) + 1

Тогда

f(− 1)= 3(− 1− 4)2+ 1= 3 ⋅25 +1 = 76

Ответ: 76

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#22842

На рисунке изображён график функции вида $f(x) =ax2 +bx +c.$ Найдите корень уравнения $f(x)= 9.$ В ответе укажите меньший из корней.

$xy110$

Показать ответ и решение

Подставив точку $(0;1)$ в уравнение функции $f(x),$ сразу получаем, что $c= 1.$ Подставим точки $(−1;−3),$ $(−2;−3)$ в уравнение $f(x)$ и решим систему относительно коэффициентов $a,$ $b:$

{a − b+1 = −3 4a − 2b+ 1 =− 3 { { a − b= −4 a = 2 2a − b = −2 ⇔ b = 6

Получили уравнение функции в виде

2 f(x)= 2x + 6x+ 1

Решим уравнение $f(x)= 9:$

2 2x2+ 6x + 1= 9 2x + 6x − 8= 0 x2+ 3x− 4= 0 (x+ 4)(x − 1)= 0 [ x= −4 x= 1

В ответе указываем меньший корень $x = −4.$

Ответ: -4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#21448

На рисунке изображен график функции вида $f(x)= ax2+bx +c.$ Найдите значение $f(−3).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Способ 1.

По картинке видно, что график функции $f(x)$ проходит через точки $(0;2),$ $(1;0)$ и $(2;0).$ Тогда можем составить систему уравнений:

( ( |||f(0)= 2 ||| a⋅02+ b⋅0+ c= 2 {f(1)= 0 ⇔ { a⋅12+ b⋅1+ c= 0 ||| ||| (f(2)= 0 ( a⋅22+ b⋅2+ c= 0 (| (| ||{c= 2 ||{ c= 2 |a+ b+ c= 0 ⇔ | a+ b+ 2= 0 ||(4a+ 2b+ c= 0 ||( 2a+ b+ 1= 0

Из последней системы получаем

c = 2, a= 1, b =− 3

Значит, функция имеет вид

2 f(x)= x − 3x+ 2

Осталось найти $f(−3):$

f(− 3)= (− 3)2− 3⋅(−3)+ 2= 9 +9 +2 = 20

Способ 2.

Запишем уравнение параболы в виде

f(x)= a(x − x1)(x− x2)

Здесь $x1,x2$ — точки пересечения с осью $Ox.$ Тогда имеем:

f(x) = a(x − 1)(x− 2)

Коэффициент $a$ можем найти, подставив точку $(0;2)$ графика в уравнение $f(x) :$

2= a(0− 1)(0− 2) ⇔ a= 1

Тогда окончательно уравнение параболы имеет вид

f(x)= (x− 1)(x− 2)

Отсюда получаем

f(−3)= (−3− 1)(− 3− 2)= (− 4) ⋅(−5) =20

Ответ: 20

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#19949

На рисунке изображён график функции $f (x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — целые. Найдите $f(− 9).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты вершины параболы. По графику видно, что $x0 =− 4,$ $y0 = 2.$

Найдём $a,$ подставив точку графика $(−3;1)$ в уравнение параболы:

1 = f(− 3)= a(− 3+ 4)2+ 2 ⇔ a = −1

Получим уравнение параболы в виде

2 f(x)= −(x+ 4) +2

Тогда имеем:

f(− 9)= −(−9+ 4)2+ 2= −25+ 2 =− 23

Ответ: -23

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#19948

На рисунке изображён график функции $f (x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — целые. Найдите $f(6).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Заметим, что любую квадратичную функцию можно представить в виде

2 f(x)= a(x − x0) + y0,

где $(x0;y0)$ — координаты вершины параболы. По графику видно, что $x0 = 2,$ $y0 = 4.$ Тогда уравнение параболы имеет вид

2 f(x)= a(x− 2)+ 4

Найдём $a,$ подставив точку $(1;2)$ на графике в уравнение параболы:

2 2= a(1 − 2) + 4 ⇔ a =− 2

Получим уравнение функции в явном виде:

2 f(x)= − 2(x − 2) + 4

Тогда окончательно

2 f(6)= − 2(6 − 2) + 4= −32 +4 = −28

Ответ: -28

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#19491

На рисунке изображён график функции вида $f(x) =ax2 +bx+ c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую функцию вида $f(x)= ax2+ bx + c$ можно представить в виде

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(5;4).$ Значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 5)2+ 4

Также по картинке видно, что в точке $x= 4$ значение функции равно 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= f(4)= a(4− 5)2+ 4 1= a+ 4 ⇔ a =− 3

Теперь мы полностью восстановили функцию, она имеет вид

f(x)= − 3(x − 5)2+ 4

Тогда имеем:

f(1)= −3(1− 5)2+ 4 =− 3⋅(−4)2+4 = −48+ 4= − 44

Ответ: -44

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#17241

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a$ , $b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(−4).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(3;5),$ значит, функция имеет вид

f(x)= a(x− 3)2+ 5

Также по картинке видно, что в точке $x = 1$ функция равна 1. Это условие можно записать следующим образом:

1= f(1)= a(1 − 3)2+ 5 ⇔ −4 = 4a ⇔ a= −1

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= −(x − 3)2+ 5

Тогда имеем:

2 f(−4)= − (− 4− 3) +5 = −44

Ответ: -44

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#17165

На рисунке изображён график функции вида $f(x) = ax2 +bx +c,$ где числа $a,b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(− 1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

где $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(4;−3),$ значит функция имеет вид

f(x)= a(x − 4)2+ (−3)= a(x− 4)2− 3

Также по картинке видно, что в точке $x = 2$ функция равна $− 4.$ Это условие можно записать следующим образом:

2 f(2)= −4 = a(2 − 4) − 3 − 1= 4a a= − 1 4

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) =− 1(x− 4)2− 3 4

Тогда

f(−1)= − 1(− 1− 4)2 − 3 = −9,25 4

Ответ: -9,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16795

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f (1).$

$xy110$

Показать ответ и решение

По графику видно, что в точках $x = 3$ и $x= 5$ парабола принимает одинаковые значения, следовательно, прямая $x = 3+25= 4$ — ось симметрии параболы, а также $x = 4$ — абсцисса ее вершины.

Мы знаем, что $x$ -координата вершины параболы — единственная точка, в которой ее производная равна нулю (ведь касательная в вершине — горизонтальная прямая). Найдем $f′(x),$ а затем приравняем $f′(4)$ к нулю:

f′(x)= 2ax+ b f′(4)= 2a⋅4 +b 0= 8a+ b b =− 8a

Запишем равенство $f(3)= 5$ (как видно по графику) и подставим $b= − 8a:$

f(3)= a⋅32+ 3b+ c 5= 9a+ 3b+ c 5= 9a +3 ⋅(− 8a)+ c 5= 9a − 24a+ c c= 15a+ 5

Запишем равенство $f(2)= −1$ (как видно по графику) и подставим $b= −8a,$ $c= 15a+ 5:$

f(2)= a⋅22+ 2b+ c − 1= 4a+ 2⋅(−8a)+ (15a+ 5) −1 = 4a − 16a +15a+ 5 3a+ 5= −1 a= −2

Таким образом,

$pict$

Итого, исходная функция

f(x)= −2x2+ 16x− 25

Найдем $f(1):$

f(1)= −2 ⋅12 +16 ⋅1 − 25 = −11

Ответ: -11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16793

На рисунке изображён график функции вида $f(x)= ax2+bx +c,$ где числа $a,$ $b$ и $c$ — действительные. Найдите значение $f(6).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $f(x)= ax2+ bx +c$ можно представить как

2 f(x)= a(x− x0) +y0

Здесь $(x0;y0)$ — координаты ее вершины. По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(− 4;3),$ значит, функция имеет вид

f(x)= a(x+ 4)2+ 3

Также по картинке видно, что в точке $x= 0$ функция равна 5. Это условие можно записать следующим образом:

2 1 5 =f(0)= a(0+ 4)+ 3 ⇔ 2 = 16a ⇔ a= 8

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x) = 1x2+ x+ 5 8

Тогда имеем:

1 2 f(6)= 8 ⋅6 + 6+ 5= 15,5

Ответ: 15,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#13549

На рисунке изображён график функции $f(x)= ax2+ bx+ c,$ где числа $a,b$ и $c$ — целые. Найдите значение $f(11).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Любую параболу вида $2 f(x)= ax + bx +c$ с вершиной $(x0;y0)$ можно представить в виде

2 f(x) =a(x− x0) + y0

По картинке несложно видеть, что вершина параболы имеет координаты $(− 2;− 1),$ значит функция имеет вид

f(x)= a(x+ 2)2− 1

Также по картинке видно, что в точке $x = 0$ функция равна 3. Это условие можно записать следующим образом:

3 =f(0)= a(0+ 2)2− 1 ⇔ 4 = 4a ⇔ a= 1

Теперь мы полностью восстановили нашу функцию, она имеет вид

f(x)= (x + 2)2− 1

Тогда искомое значение равно

2 f(11)= (11+ 2) − 1 = 168

Ответ: 168

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#41925

На рисунке изображён график функции

x2 f(x)= -a + bx + c,

где числа $a,$ $b,$ $c$ — целые. Найдите $f(3,5).$

$xy110$

Показать ответ и решение

Рассмотрим общий вид параболы с ветвями вниз $y = −k(x− x0)2 +n.$ Здесь $x0$ $(x0 > 0∕x0 < 0)$ — сдвиг вправо/влево относительно параболы $y = −x2;$ $n$ $(n> 0∕n < 0)$ — сдвиг вверх/вниз относительно параболы $y = −x2;$ $k$ $(k > 1∕0< k < 1)$ — коэффициент сжатия/растяжения вдоль оси $Oy$ относительно параболы $2 y = − x.$

Вершина параболы $2 y =− x$ находится в точке $(0;0),$ вершина нашей параболы — в точке $(6;8),$ следовательно, она смещена вправо на 6 единиц и на 8 единиц вверх. Значит, ее уравнение выглядит как

y = −k(x− 6)2+ 8

Найдем $k.$ Если в параболе $2 y = −x$ мы смещаемся на 4 клетки вправо, то чтобы получить точку на параболе, необходимо сместиться на $42$ , то есть на 16, клеток вниз. В нашем случае, смещаясь от точки $(6;8)$ к точке $(10;4)$ , мы смещаемся на 4 клетки вправо и на 4 клетки вниз, то есть в 4 раза меньше, чем у параболы $y = −x2.$ Следовательно, $k = 14.$ Тогда уравнение параболы выглядит как

1 2 y = −4 (x − 6) + 8

Значит,

( ) ( )2 f(3,5)= y 7 = − 1 7 − 6 +8 = − 1⋅25+8 = −-25-+8-⋅16= 103 =6,4375 2 4 2 4 4 16 16

Ответ: 6,4375

Предыдущий раздел

Следующий раздел