а) Запишем оба числа, используя переменные. Пусть первое число имеет вид тогда второе число равно

Так как числа трёхзначные, то ни ни могут быть равны 0, следовательно, обе переменные принимают значения от 1 до 9 включительно.

Не ограничивая общности, можем считать, что Значения переменных можно поменять, а значит, случай рассматривается аналогично. Нам неважно, у кого из братьев на ёлке шариков больше, так как интересует только разность этих двух чисел.

Запишем разность

Пусть и . Тогда:

Пример найден.

б) Запишем разность

Ответ на этот пункт отрицательный, поскольку не является целым числом, а разность двух натуральных чисел и — число целое.

в) Очевидно, что сумма двух трёхзначных натуральных чисел не может быть больше, чем — разности наибольшего и наименьшего трёхзначных натуральных чисел.

Более того, в прошлых пунктах мы заметили, что чтобы и имели натуральные значения, необходимо, чтобы разность чисел и была кратна 99.

Наибольшее число, которое кратно 99 и меньше 899, равно Однако это не ответ, поскольку а то их разность не превышает

Рассмотрим пример для разности

Будем складывать числа, выписанные Гарри, по разрядам. Заметим, что в разрядах единиц все цифры от 1 до 9 встречаются по одному разу. Поэтому сумма всех цифр в этом разряде будет равна

То же верно и для других разрядов: цифры в разряде десятков в сумме дают 45, поэтому к сумме девяти чисел они дадут Цифры в разряде сотен дадут к сумме десяти чисел Сложим полученные по разрядам суммы:

Тогда только такой и может быть сумма чисел, выписанных Гарри.

Обозначим новое число через Тогда исходное число получается из приписыванием к нему некой цифры справа. Обозначим эту цифру через Тогда исходное число равно Разница между исходным числом и полученным равна

По условию эта разность равна 2019. Значит, где — цифра.

Заметим, что число 2019 представляется в виде

То есть это число дает остаток 3 при делении на 9. Значит, чтобы разность делилась на 9, нужно, чтобы цифра давала остаток 3 при делении на 9. Это возможно только тогда, когда Значит, и тогда

Таким образом, исходное число было равно 2243.

Обозначим исходное число через где и — цифры десятков и единиц соответственно. После того, как в число вставили цифру 0, получилось или По условию сказано, что это число в 9 раз больше исходного. Исходное же расстояние можно представить как Тогда мы можем написать равенство

Заметим, что тогда делится на 5, а так как — цифра, то либо либо Если то чего не может быть, так как число не может начинаться с нуля. Значит, и тогда Таким образом, исходное число равно 45, и именно столько километров составляет путь от Норы до Лондона.

Приписав справа к числу цифру Крэбб получил число Если бы Крэбб выполнил сложение, то получил число Разница между этими числами составляет

По условию эта разница равна 144. Поэтому откуда

Замечание. Обратите внимание, что саму цифру мы найти не можем: она в равенстве взаимоуничтожается слева, поэтому цифра может быть любой.

Разложим девятизначное число из условия на множители:

Следовательно, Гарри мог задумать число 107, а Рон — число 1001001.

Замечание. Так как нас просят лишь привести пример задуманных чисел, то думать о том, является ли данный пример единственным, необязательно. Отметим, что все-таки он единственный: если бы Гарри задумал число, большее 107, то число Рона уже было бы не более, чем шестизначным. А числа от 100 до 106 можно перебрать непосредственно: ни на одно из них число 107107107 не делится.

Когда к двузначному числу приписывается слева цифра 6, оно увеличивается на 6 сотен, то есть на 600. Поэтому если обозначить исходное число через то новое число будет равно По условию это в 13 раз больше исходного числа. Поэтому мы имеем равенство

Значит, исходное число равно 50.

Приписать справа к числу цифру 7 — то же самое, что умножить число на 10 и прибавить к результату 7. Поэтому новое число, полученное Драко, равно . По условию, если его сложить с исходным, то есть с , получится 5210. Тогда мы можем составить уравнение

Итак, и именно его нам и нужно было найти.

Обозначим это шестизначное число как Тогда условие задачи можно записать как

или, по-другому,

После преобразований получаем равенство

Делим на 7 и заменяем в левой части скобку на пятизначное число:

Если то правая часть шестизначная, а левая — пятизначная. Кроме того, как первая цифра шестизначного числа. Варианты и дают два ответа.

Обозначим пятизначное число через

Тогда число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке, равно

Разность этих чисел равна

Так как оба числа 9999 и 990 делятся на 11, то и вся сумма делится на 11, что и требовалось.

Так как первые три цифры пароля одинаковы, как и последние четыре, то обозначим этот пароль через Сумма цифр этого числа и по условию это же равно

Значит, имеем равенство

Так как 3 и 7 — взаимно простые числа, то делится на 7. При этом цифра равна 0 или 7.

Если то тоже равен 0, но тогда число не двузначное.

Если то и пароль 3337777 подходит.