В этом фрагменте слышится НЕ ОБЫКНОВЕННАЯ мелодия, а полный трагизма финал. — прилагательное; пишется с НЕ раздельно, поскольку есть противопоставление с союзом А (в данном случае НЕ относится к слову «мелодия», а не к слову «обыкновенная»)

Месяца на небе НЕ БЫЛО, а звёзды ярко светились. — глагол; пишется с НЕ раздельно (за исключением случаев, когда без НЕ слово не употребляется)

НЕОБЫЧАЙНО тихо было в горах и на безбрежных пляжах у моря. — наречие (оканчивающееся на -О); пишется с НЕ слитно, так как можно заменить синонимом – «очень»; без НЕ не употребляется

Люди, НЕ ВИДЕВШИЕ нашей зимы, вряд ли поймут русский характер. — полное причастие; пишется с НЕ раздельно, так как имеет зависимые слова («нашей зимы»)

Некоторые слова в тексте были написаны НЕ ПО-РУССКИ. — наречие; пишется раздельно с НЕ (так как не оканчивается на -О/-Е и не является местоимённым); дефисные наречия пишутся с НЕ раздельно всегда