Упрощенные задачи —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 14. Задачи по стереометрии

14.10 Упрощенные задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи по стереометрии

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#81180

В основании прямой призмы $ABCA1B1C1$ лежит треугольник с прямым углом $A.$ Точки $K$ и $E$ — середины ребер $A1B1$ и $AC$ соответственно, точка $M$ является точкой пересечения диагоналей грани $AA1B1B.$ Точка $P$ делит ребро $CC1$ в отношении $2 :1,$ считая от вершины $C.$ Докажите, что прямые $KE$ и $MP$ скрещиваются.

Показать доказательство

$PIC$

Рассмотрим плоскость $(KP E)$ . По признаку, чтобы прямые скрещивались, нужно чтобы первая прямая пересекала плоскость, где лежит вторая прямая, в точке, не лежащей на второй прямой. Иными словами, нужно доказать, что точка $M$ не лежит в плоскости $(KP E)$ , то есть что прямая $MP$ пересекает $(KP E)$ (где лежит прямая $KE$ ) в точке $P$ , не лежащей на $KE$ . Введём систему координат, как показано на рисунке. Пусть ось $Ox$ вдоль $AB$ , ось $Oy$ вдоль $AC$ , ось $Oz$ вдоль $AA1$ (так как $AA1$ перпендикулярно основанию (боковое ребро прямой призмы), угол между $AB$ и $AC$ равен $90∘$ . Пусть $AB = a,AC = b,AA = c 1$ . Тогда:

( ) ( ) ( ) ( ) K 1a;0;c ,E 0; 1b;0 ,M 1a;0; 1 c ,P 0;b; 2c 2 2 2 2 3

Запишем уравнение плоскости $(KP E) :kx + ny+ mz +d = 0$ . Составим систему:

(1 |||||2 ak+ mc+ d =0,|⋅2 |||{ 1 bn + d= 0,|⋅2 ||||2 ||||( 2 bn+ 3 cm + d= 0.|⋅3

Пусть $d= 1$ . Тогда:

( (| ak+ 2mc+ 2= 0, (|bn =− 2, ||| bn= − 2, { bn + 2= 0, {2cm = −3 − 3 ⋅− 2, { cm = 3, |( 3bn + 2cm + 3= 0. |(ak +2mc + 2= 0. ||| 2 3 ( ak = − 2− 2⋅2 = −5.

( || n= − 2, |||| b ||{ 3 | m = 2c, ||||| ||( k = − 5. a

Подставим в уравнение плоскости $(KP E )$ координаты точки $M$ и проверим, принадлежит ли она плоскости (не должна):

5 1 2 3 1 5 3 3 − a ⋅2a − b ⋅0+ 2c ⋅2c+ 1= −2 + 4 + 1 =− 4 ⁄= 0

Значит точка $M$ не лежит в $(KP E )$ , а значит прямые $KE$ и $MP$ скрещиваются.

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#81179

Точки $A(1;1;5),B(4;7;5),C (8;5;5),D (5;−1;5)$ являются вершинами прямоугольника $ABCD.$ Найдите меньший угол между диагоналями прямоугольника.

Показать ответ и решение

Пусть $α$ — наименьший угол между диагоналями прямоугольника.

−→ AC {8 − 1;5− 1;5− 5}= {7;4;0},

−−→ BD {5− 4;−1 − 7;5− 5}= {1;−8;0}.

Найдём косинус угла между ними через скалярное произведение:

−→AC ⋅−−B→D = |−A→C |⋅|−B−→D |⋅cos(∠−A→C, −−B→D ),

−→ ∘-2---2---2 √ -- |AC |= 7 + 4 + 0 = 65,

−−→ ∘ ------------- √-- |BD |= 12+ (−8)2+ 02 = 65,

√-- √ -- 7⋅1+ 4⋅(−8)+ 0= 65 ⋅ 65⋅cos(∠−A→C, −−B→D ),

7− 32= 65⋅cos(∠ −A→C,−B−→D ),

−→ −−→ 25- 5- cos(∠ AC,BD )= − 65 = − 13 .

Получили, что косинус угла $α$ отрицательный, а значит угол тупой. Так как нам нужно найти наименьший угол между диагоналями, берём смежный с ним и получаем: $cosα= 5- 13$ , следовательно, $α = arccos-5. 13$

Ответ:

$arcsin 1213-= arccos 513-= arctg 135$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#81178

В пирамиде $ABCD$ с вершиной $D$ проведена высота $DH.$ Найдите координаты точки $H,$ если известны координаты вершин пирамиды: $A (4;0;1),B(4;4;1),C(0;0;5),D (−1;2;0).$

Показать ответ и решение

Посчитаем длины боковых рёбер пирамиды:

∘----2---2-----2 √-------- √ -- DA = (−5) + 2 + (− 1) = 25+ 4+ 1= 30,

∘ ---2------2------2 √-- DB = (−5) +(−2) + (−1) = 30,

∘ ---2----2------2- √ -- DC = (− 1) + (2) +(−5) = 30,

Значит, у пирамиды равны боковые рёбра, следовательно, точка $H$ является центром описанной около основания окружности.

∘ ----2---2----2√-- √ - AC = (−4) + 0 + (4) 32= 4 2,

∘ -2---2---2 AB = 0 + 4 + 0 = 4,

∘ ----2-----2---2 √ - BC = (−4) + (− 4) +4 = 4 3.

Определим тип треугольника с помощью теоремы косинусов. Для этого найдем косинус угла, лежащего напротив наибольшей стороны треугольника, то есть напротив $BC :$

2 2 2 BC = AC +AB − 2AB ⋅AC ⋅cos∠BAC,

√- 48 =32 +16− 32 2 ⋅cos∠BAC,

cos∠BAC = 0,

∘ ∠BAC =90 .

Таким образом, треугольник в основании — прямоугольный, причем $H$ — центр описанной окружности. Тогда $H$ является серединой гипотенузы $BC,$ то есть

( 4+-0 4+-0 1+-5) H 2 ; 2 ; 2 = (2;2;3).

Ответ:

$(2;2;3)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#81177

Точки $√ - √ - √ - √ - √- √ - √ - √ - √ - A(0;2 2;2 2),B (2 2;2 2;0),C(2 2;0;2 2),D (2 2;2 2;2 2)$ являются вершинами пирамиды $DABC.$ Найдите координаты основания биссектрисы $DM,$ лежащей в грани $DAC.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим треугольник $DAC.$ Найдём его стороны.

∘ ----------------------------------- DA = (2√2− 0)2+ (2√2 − 2√2)2+ (2√2-− 2√2)2 = √8 =2√2,

∘ --√----√-------√---------√-----√--- √- √ - DC = (2 2− 2 2)2+ (2 2− 0)2+ (2 2− 2 2)2 = 8 =2 2.

Получается, что треугольник $DAC$ равнобедренный и биссектриса $DM$ также является медианой. Тогда $M$ — середина $AC$ и

( √- √- √ - √-) 0+-2-2-2-2-+0- 2-2+-2-2- √- √- √- M 2 ; 2 ; 2 = ( 2; 2;2 2).

Ответ:

$√- √- √- M ( 2; 2;2 2)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#43295

Дан цилиндр, $AB$ — диаметр его верхнего основания, на окружности нижнего основания взята произвольная точка $C.$ Точка $E$ — проекция точки $A$ на нижнее основание, точка $M$ на отрезке $AC$ такова, что $AM :MC = 2:1.$ Прямая $EM$ пересекает боковую поверхность цилиндра в точке $G.$ Найдите длину отрезка $GC,$ если высота цилиндра равна 4.

Показать ответ и решение

Рассмотрим плоскость $(ACE ).$ Она пересекает боковую поверхность цилиндра по отрезкам $AE$ и $CF,$ где $F$ — проекция точки $C$ на плоскость верхнего основания. Так как $CF = AE,$ $CF ∥AE,$ то $AECF$ — параллелограмм.

$PIC$

Тогда $EM$ пересекает $CF$ в точке $G.$ Получаем два подобных треугольника $AME$ и $CMG :$ $∠AME = ∠CMG$ как вертикальные, $∠AEM = ∠CGM$ как накрест лежащие при $AE ∥CF$ и секущей $GE.$ Из подобия имеем:

AE :CG = AM :MC = 2:1 ⇒ CG = 1AE = 2 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#43294

Дан цилиндр, $AB$ — диаметр его верхнего основания, а $CD$ — диаметр его нижнего основания. Точка $M$ — середина отрезка $AC,$ точка $E$ — проекция точки $A$ на нижнее основание цилиндра. Докажите, что точка пересечения прямой $EM$ с поверхностью цилиндра лежит в плоскости верхнего основания.

Показать ответ и решение

Рассмотрим плоскость $(ACE ).$ Она пересекает боковую поверхность цилиндра по отрезкам $AE$ и $CF,$ где $F$ — проекция точки $C$ на плоскость верхнего основания.

$PIC$

Так как $CF = AE,$ $CF ∥ AE,$ то $AECF$ — параллелограмм, следовательно, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, диагональ $FE$ пересекает диагональ $AC$ в точке $M,$ то есть $F$ — точка пересечения прямой $EM$ с плоскостью верхнего основания.

Ответ: Доказательство

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#43292

Дан цилиндр, $AB$ — диаметр его верхнего основания, а $CD$ — диаметр его нижнего основания, причем $AB ⊥CD.$ Радиус основания цилинда равен 1, высота равна 4. Найдите длину отрезка $AC.$

Показать ответ и решение

Пусть $A′$ и $B′$ — проекции точек $A$ и $B$ на нижнее основание цилиндра. Тогда $′ ′ A B ⊥CD.$

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AA ′C.$ В нем имеем:

∘ --′2---′-2- ∘ -----′-2 AC = AA + AC = 16+ AC

Отрезок $A ′C$ найдем из прямоугольного равнобедренного $△A′OC,$ в котором

′ AO = OC = R = 1

Тогда $A ′C2 = 2$ и окончательно получаем:

√----- √ - AC = 16+ 2 =3 2

Ответ:

$3√2-$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#43073

Непересекающиеся диагонали двух смежных граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами $α$ и $β.$ Найдите угол $ϕ$ между этими диагоналями.

Показать ответ и решение

Пусть $A1B = D1C = b,$ $AD1 =d,$ $DD1 = c.$ Тогда $CD = bcosα,$ $AD =d cosβ.$ Тогда $2 2 2 2 2 AC =b cos α+ d cosβ.$

$PIC$

По теореме косинусов для $△AD1C :$

AD21 + CD21 − AC2 b2+ d2− b2cos2α− d2cos2β b2sin2α + d2sin2β cosϕ = --2-⋅AD1-⋅CD1----= ----------2bd----------= ------2bd------

Так как $b= --c-, sinα$ $d = -c--, sinβ$ то

cosϕ = -c2-+c2-= sinα sinβ ⇔ ϕ= arccos(sinα sinβ). sin2αc2sinβ

Ответ:

$ϕ = arccos(sinαsin β)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#16773

Даны параллелограмм $ABCD$ и трапеция $ABEK$ с основанием $EK$ , не лежащие в одной плоскости. а) Выясните взаимное расположение прямых $CD$ и $EK.$ б) Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и $AB = 22,5$ см, $EK = 27,5$ см.

Показать ответ и решение

а) $CD ∥ BA, EK ∥ BA ⇒ CD ∥ EK$ .

б) В описанном четырехугольнике суммы пар противоположных стороны равны, т.е. $AB + EK = AK + BE$ , тогда периметр трапеции равен

P = 2(AB + EK ) = 100 cm

$PIC$

Ответ:

б) 100 см

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#16771

На скрещивающихся прямых $a$ и $b$ отмечены соответственно точки $M$ и $N.$ Через прямую $a$ и точку $N$ проведена плоскость $α$ , а через прямую $b$ и точку $M$ — плоскость $β.$ а) Лежит ли прямая $b$ в плоскости $α$ ? б) Пересекаются ли плоскости $α$ и $β$ ? При положительном ответе укажите прямую, по которой они пересекаются.

Показать ответ и решение

а) По условию $a ⊂ α$ . Если бы $b$ тоже лежала в $α$ , возникало бы противоречие с тем, что $a$ и $b$ скрещиваются.

б) По условию $N ∈ α$ , кроме того, $N ∈ b ⊂ β$ . По условию $M ∈ β$ , кроме того, $M ∈ a ⊂ α$ . Получили, что обе точки $M$ и $N$ принадлежат обеим плоскостям $α$ и $β$ , следовательно, пересечением плоскостей является прямая $M N$ .

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#16768

Прямая $m$ пересекает сторону $AB$ треугольника $ABC.$ Каково взаимное расположение прямых $m$ и $BC,$ если:

а) прямая $m$ лежит в плоскости $(ABC )$ и не имеет общих точек с отрезком $AC;$

б) прямая $m$ не лежит в плоскости $(ABC )?$

Показать ответ и решение

а) Пусть $D$ — точка пересечения $AB$ и $m.$ Очевидно, что если бы $m$ была параллельна $BC,$ то она бы пересеклась с отрезком $AC,$ что противоречит условию пункта а). Значит, $m$ и $BC$ пересекаются.

$PIC$

б) Пусть $D$ — точка пересечения $AB$ и $m.$ Допустим, что $m$ и $BC$ не скрещиваются. Тогда они однозначно задают некоторую плоскость $α.$ Точки $B$ и $D$ лежат в $α,$ тогда и $A$ лежит в $α,$ так как точки $B,$ $D$ и $A$ лежат на одной прямой. Получили, что точка $A,$ прямая $m$ и прямая $BC$ лежат в одной плоскости, что противоречит условию пункта б) «прямая $m$ не лежит в плоскости $(ABC )$ ». Значит, $m$ и $BC$ скрещивающиеся.

$PIC$

Ответ:

а) $m$ и $BC$ пересекаются

б) $m$ и $BC$ скрещиваются

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#16765

Точка $D$ не лежит в плоскости треугольника $ABC$ , точки $M, N$ и $P$ — середины отрезков $DA, DB$ и $DC$ соответственно, точка $K$ лежит на отрезке $BN.$ Выясните взаимное расположение прямых: a) $N D$ и $AB;$ б) $P K$ и $BC;$ в) $M N$ и $AB;$ г) $M P$ и $AC;$ д) $KN$ и $AC;$ e) $M D$ и $BC$ .

$PIC$

Показать ответ и решение

а) Прямая $DN$ совпадает с прямой $DB$ , следовательно, $DN$ и $AB$ пересекаются.

б) Точки $P,K,B, C$ лежат в плоскости треугольника $DCB$ , следовательно, прямые $P K$ и $BC$ пересекаются, либо параллельны. $P N ∥ BC$ как средняя линия в треугольнике $DCB$ , точки $K$ и $N$ по условию не совпадают, следовательно, $PK$ и $BC$ пересекаются.

в) $M N ∥ AB$ как средняя линия в треугольнике $ADB$ .

г) $M P ∥ AC$ как средняя линия в треугольнике $ADC$ .

д) Прямая $KN$ совпадает с прямой $DB$ , точка $D$ не лежит в плоскости $ABC$ по условию, следовательно, прямые $KN$ и $AC$ не лежат в одной плоскости — они скрещиваются.

е) Прямая $M D$ совпадает с прямой $AD$ , точка $D$ не лежит в плоскости $ABC$ по условию, следовательно, прямые $M D$ и $BC$ не лежат в одной плоскости — они скрещиваются.

Ответ:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#15998

Точка $C$ лежит на отрезке $AB$ . Через точку $A$ проведена плоскость, а через точки $B$ и $C$ — параллельные прямые, пересекающие эту плоскость в точках $B1$ и $C1$ соответственно.

Найдите длину отрезка $CC 1$ , если:

а) точка $C$ — середина отрезка $AB$ и $BB1 = 7$ ;

б) $AC : CB = 3 : 2$ и $BB1 = 20$ .

Показать ответ и решение

Прямые $BB1$ и $CC1$ параллельны, а значит, однозначно задают плоскость. Точка $A$ также лежит в этой плоскости, так как она лежит на прямой $BC$ . Фактически мы теперь имеем дело с плоской задачей в плоскости $(ABB1 )$ .

$PIC$

а) Если $C$ — середина $AB$ , то $CC1$ — средняя линия в треугольнике $ABB1$ .

Тогда имеем

1 CC1 = 2BB1 = 3,5

б) Из параллельности следует, что $△ ACC1 ∼ △ABB1$ с коэффициентом

k = AC : AB = 3 : 5

Тогда имеем

3 CC1 = 5BB1 = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#15997

На рисунке точки $M,$ $N,$ $Q$ и $P$ — середины отрезков $DB,$ $DC,$ $AC$ и $AB.$ Найдите периметр четырехугольника $MNQP,$ если $AD = 12,$ $BC = 14.$