Пусть — наибольшее из данных чисел. Тогда , откуда . Но из условия следует, что . Получили противоречие. Ответ: не существует.

Разность между общим весом девяти самых тяжёлых гирь и общим весом девяти самых лёгких равна г. Поэтому железные гири — самые тяжёлые, а бронзовые — самые лёгкие (иначе разность между общим весом железных гирь и общим весом бронзовых была бы меньше). Значит, золотая гирька весит 10 г.

Заметим, что все числа неотрицательны. Пусть наибольшее из них равно . Тогда , где — следующие за по часовой стрелке числа. Но , , следовательно, , . Следовательно, уже имеем: либо . Двигаясь далее, получим один и тот же набор: . Отсюда , следовательно,

Пусть — наибольшее из записанных чисел, а — наименьшее. Тогда , , где — произвольные записанные числа. Отсюда , . Так как , то

Рассмотрим человека, получившего наибольшую сумму . Тогда его соседи справа и слева получили ту же сумму , так как среднее арифметическое (а именно столько получает каждый человек) двух чисел, меньших , не равно ни при каких значениях этих чисел. Но тогда соседи его соседей также получили по долларов. Таким образом получаем, что все получили поровну денег.

Расположим числа в порядке возрастания. Тогда очевидно, что каждое число будет больше своего номера. Найдем сумму номеров всех чисел:

а) ;

б) .

В обоих случаях эта сумма на единицу меньше суммы самих чисел. Значит, одно число на единицу больше своего номера, а остальные — равны ему. Числом, большим своего номера, может быть только последнее. Действительно, если какое-то число больше своего номера, то все последующие числа тоже больше своего номера. Поэтому искомыми числами будут

а) 1, 2, 3, 4, 5, 7;

б) 1, 2, , 99, 101.

Рядом с числом 1 может стоять только 2, поэтому 1 стоит с краю. Допустим, что 1 стоит в начале. Тогда следующее число – 2, следующее – 3 (других чисел рядом с 2 быть не может), следующее — 4 и т. д. Получаем расстановку 1, 2, , 99, 100.

Если же 1 стоит в конце, то аналогично однозначно восстанавливается расстановка 100, 99, , 2, 1.

Пусть — наибольшее из чисел на доске. Тогда . Взяв другое число на доске, получим и , откуда . Так как мы взяли произвольное число , то полученное равенство означает, что все остальные числа равны между собой и равны . Следовательно, наибольшее число различных чисел – два. Это, например, 1 и 3.

Рассмотрим число 16, рядом с которым стоит число . Тогда , где , откуда однозначно и . Следовательно, у числа 16 не может быть более одного соседа, значит, по кругу записать числа нельзя.

Пример расположения чисел в строку: 16, 9, 7, 2, 14, 11, 5, 4, 12, 13, 3, 6, 10, 15, 1, 8.

Пусть на плоскости расположено 1000 отрезков. Возьмем произвольную прямую , не перпендикулярную ни одному из них, и спроецируем концы всех этих отрезков на прямую . Ясно, что конец отрезка, проецирующийся в самую левую из полученных точек, не может упираться строго внутрь другого отрезка.

Так как звёзд бесконечное число, то хотя бы один из параметров принимает бесконечное число значений. Пусть это размер. Возьмем звезду с наименьшей яркостью, пусть ее размер равен . Поскольку размер принимает бесконечное количество значений, найдётся звезда размера больше . Она не уступает первой звезде ни по яркости, ни по размеру.

Допустим, что перекрасить в шахматном порядке удалось. Рассмотрим последнюю перекрашенную клетку. Допустим, она стала чёрной. Тогда все её соседи – белые. Маляр пришёл на неё, будучи белым, значит, не мог перекрасить её в чёрный цвет.

Все зайчата барабанить не могут, так как заведомо не будет барабанить зайчонок, которому достанется самый маленький барабан. С другой стороны, если дать этому же зайчонку и самые короткие палочки, то все остальные зайчата будут барабанить.

Пронумеруем грибников так, чтобы первый набрал больше всех грибов, второй больше среди оставшихся и т.д. Ясно, что первый не мог набрать меньше 9 грибов, т.к. тогда бы все вместе набрали максимум грибов. Также второй не мог набрать меньше 7 грибов. Значит, первый и второй вместе набрали хотя бы грибов. Учитывая то, что третий набрал хотя бы 6 грибов, то 4-й, 5-й, ..., 8-й набрали вместе максимум грибов.

Возьмем четыре самых маленьких числа. Поскольку из сумма положительна, то хотя бы одно из них должно быть положительно. Остальные 11 чисел не меньше этих четырех. Поэтому эти 11 чисел должны быть положительны. Если к положительной сумме изначально выбранных нами четырех чисел прибавить еще 11 положительнах слагаемых, то получим, что сумма всех написанных на доске чисел положительна.