Поскольку образовалась смесь трёх солей, значит протекали две параллельные реакции:
1) 4 KClO₃ = 3 KClO₄ + KCl
2) KClO₃ = KCl + 1,5 O₂ 
Пока что мы ничего не знаем о том, как протекали эти реакции, поэтому найдём массу образовавшейся смеси:
m смеси = m MnO₂ / w MnO₂ = 18,797 г
Массовые доли всех солей: (1 - 0,0026)/3 = 0,3325. Можем найти количества всех солей в смеси:
n (KClO₃) ост = w соли * m смеси / M соли = 0,051 моль 
n (KClO₄) ост = w соли * m смеси / M соли = 0,0451 моль
n (KCl) ост = w соли * m смеси / M соли = 0,0839 моль
Сразу же рассчитаем количество выделившегося иода
3) KClO₃ + 6 KI + 3 H₂SO₄ = KCl + 3 I₂ + 3 K₂SO₄  + 3 H₂O
4) KClO₄ + 8 KI + 4 H₂SO₄ = KCl + 4 I₂ + 4 K₂SO₄  + 4 H₂O 
m I₂ (3+4) = (3 n KClO₃ + 4 n KClO₄) * 254 = 84,68 г
Теперь вернемся к исходной массе хлората калия.
m исх KClO₃ = m смеси солей - m MnO₂ + m O₂ (2)  
Кислорода во второй реакции образовалось в полтора раза больше, чем прореагировало по этому пути. Проблема в том, что хлорид калия образовывался ещё и в первой реакции. Здесь можно пойти двумя путями:
I. В одно действие: нам неважно, как протекали эти реакции, потому что все атомы хлора остались в смеси, то есть их всего изначально было столько же, сколько образовалось всех солей:  0,051 + 0,0451 + 0,0839 = 0,18 моль
m KClO_{3 исх} = 0,18 * 122,5 = 22,05 г
II. Более долгий способ. Кислорода во второй реакции образовалось в полтора раза больше, чем хлорида калия в той же реакции. Это количество хлорида калия найдём как разность всего хлорида калия минус хлорид калия из первой реакции, а его в первой реакции образовалось в 3 раза меньше, чем перхлората (по коэффициентам).
n O₂ (2) = 1,5 * n KCl (2) = (0,0839 - 0,0451/3)* 1,5 = 0,1033 моль.
Значит масса исходного образца 18,797 - 0,05 + 0,1033*32 = 22,05 г