Братья остались (НА)ЕДИНЕ (НАЕДИНЕ – наречие, пишется слитно; между приставкой НА и словом ЕДИНЕ нельзя вставить определение => пишется слитно) и (С)НАЧАЛА (в данном случае СНАЧАЛА – наречие, пишется слитно; пишутся слитно наречия с временным значением, имеющие в составе существительное НАЧАЛО) только посматривали друг на друга.

Николай (ВО)ВРЕМЯ (в данном случае ВО ВРЕМЯ – существительное с предлогом, имеет значение «в течение чего-либо», пишется раздельно) спора молчал и только однажды В(ПОЛ)ГОЛОСА (ВПОЛГОЛОСА – наречие, между приставкой В и ПОЛГОЛОСА нельзя вставить определение или задать падежный вопрос => пишется слитно; приставка ПОЛ- пишется слитно, поскольку не выполняется условие для её написания через дефис) попросил Марину убрать самовар.

Далее в полусонном существовании Илья Ильич не мог, по его словам, равнодушно вспоминать ту самую женскую арию из оперы Беллини, которая КАК(БЫ) (КАК БЫ – союз с частицей, всегда пишутся раздельно) слилась с обликом Ольги Ильинской, а ТАК(ЖЕ) (в данном случае А ТАКЖЕ – союз, пишется слитно, по смыслу можно заменить на союз «и») с драматическим итогом любви Обломова к ней. 

Продавец ТАК(ЖЕ) (в данном случае ТАК ЖЕ – наречие с частицей, есть КАК, пишется раздельно) несёт ответственность перед покупателем за повреждение или поломку груза (В)СЛЕДСТВИЕ (ВСЛЕДСТВИЕ – производный предлог, имеет значение «по причине», всегда пишется слитно, запомнить) ненадлежащей упаковки, как и покупатель перед продавцом за своевременную оплату товара.

В (ТО)ЖЕ (в данном случае ТО ЖЕ – местоимение с частицей, есть указание (время какое? то же), входит в конструкцию «в то же время», пишется раздельно) время роль гуманитарных наук велика (ПО)ТОМУ (входит в состав союза «потому, что», пишется слитно), что именно слово может объединить людей.