Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.05 Прямоугольный треугольник и теорема Пифагора

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#74509

В треугольнике $ABC$ угол C равен $90∘,AC = 6,AB = 10.$ Найдите высоту, опущенную из вершины прямого угла.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $∠ABC = α,$ тогда $∠CAB = 90− α.$ Так как $CH$ — высота, то $∠ACH = α,$ $∠HCB = 90− α.$ Следовательно, $△ABC ∼ △ACH$ по двум углам.

BC- AB- CH = AC ,

CH = BC-⋅AC-, AB

$AB = 10= 5⋅2,$ $AC =6 = 3⋅2.$ Значит, $BC = 4⋅2= 8$ ( Пифагорова тройка $3,4,5$ )

CH = 8⋅6-=4,8. 10

Ответ: 4,8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#74365

В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AC = BC.$ Найдите $AC,$ если высота $CH = 12,$ $AB = 10.$

Показать ответ и решение

Высота в равнобедренном треугольнике, опущенная на основание, является также высотой и медианой. Значит, $AH = HB = 5.$ По теореме Пифагора найдем, чему равняется $x.$

$PIC$

$AH2 +CH2 = AC2,$
$52+ 122 = AC2,$
$25+ 144= AC2,$
$AC2 = 169,$
$AC = 13.$
Полезное замечание. Числа 5, 12, 13 также являются пифагоровой тройкой. Их следует тоже запомнить.

Ответ: 13

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#74364

Высота равностороннего треугольника равна $√ - 9 3.$ Найдите периметр этого треугольника.

Показать ответ и решение

Высота в равностороннем треугольнике является также медианой и биссектрисой.

$PIC$

Пусть сторона треугольника равна $2x,$ тогда $AH = HB = x.$ По теореме Пифагора найдем $x.$
$x2+ (9√3)2 = (2x)2,$
$x2+ 243= 4x2,$
$3x2 = 243,$
$x2 =81,$
$x = 9.$
Значит, сторона треугольника равняется $9⋅2 = 18.$ Отсюда периметр равностороннего треугольника равен $18⋅3= 54.$

Ответ: 54

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#74363

В прямоугольном треугольнике катет и гипотенуза равны 8 и 17 соответственно. Найдите другой катет этого треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Теорема Пифагора. В прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы.
$BC2 + AC2 = AB2,$
$2 2 2 BC + 8 = 17 ,$
$2 BC = 289− 64= 225,$
$BC =15.$

Полезное замечание. Числа 8, 15, 17 являются Пифагоровой тройкой, которая очень часто встречается в задачах. Не будет лишним запомнить данную троку чисел.

Ответ: 15

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44446

Найдите проведенную к гипотенузе высоту прямоугольного треугольника с катетами 3 и 4.

Показать ответ и решение

Пусть дан $△ABC$ с $∠A = 90∘,$ катетами $AB = 3$ и $AC = 4$ и проведена высота $AH ⊥ BC.$

Тогда имеем:

$pict$

$PIC$

По теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

∘ ---------- ∘ ------ BC = AB2 +AC2 = 32+ 42 = 5

Следовательно, искомая высота равна

3⋅4- 12- AH = 5 = 5 = 2,4

Ответ: 2,4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#2535

В треугольнике $ABC$ $AC =BC,$ $∠C = 120∘,$ $AB = 2√3.$ Найдите $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AHB.$

Так как $∠C = 120∘$ и $AC = CB,$ то

180∘ − 120∘ ∠A = ∠B = ----2-----=30∘

Катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы. Следовательно, в прямоугольном треугольнике $AHB :$

HA = 1AB = √3 2

$PIC$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Так как $∠ACB =120∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠ACH = 180 − 120 = 60

Так как в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна $90∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠HAC = 90 − 60 = 30

Следовательно, $HC = 0,5AC.$ Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $AHC :$

AC2 = HC2 + HA2 AC2 = AC2- +3 ⇒ AC = 2 4

Ответ: 2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2534

В треугольнике $ABC$ $AC =BC = 4,$ $∠C = 30∘.$ Найдите высоту $AH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы. Следовательно, в треугольнике $ACH$ имеем:

AH =0,5AC = 2

Замечание.

Условие $BC = 4$ в данной задаче является лишним.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2533

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH$ — высота, угол $A$ равен $30∘.$ Найдите $BH,$ если $AB = 4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катет, лежащий напротив угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

BC = 1AB = 2 2

По свойству прямоугольного треугольника получаем

∠BCH = ∠A = 30∘

Cледовательно, в треугольнике $BCH$ имеем:

BH = 1BC = 1 2

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2532

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH$ — высота, угол $A$ равен $30∘.$ Найдите $AH,$ если $AB = 2.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

BC = 1AB = 1 2

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ABC :$

AC = ∘AB2-−-BC2-= √3

В прямоугольном треугольнике $AHC :$

1 √3 HC = 2AC = 2--

Тогда по теореме Пифагора

∘ ----- ∘ ---2-----2 3 AH = AC − HC = 3− 4 = 1,5

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2472

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH = 4$ — высота, $BC =√17.$ Найдите $tg∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По теореме Пифагора в треугольнике из $BCH :$

∘---------- √ ------ BH = BC2 − HC2 = 17− 16 = 1

Следовательно,

tg∠BCH = BH--= 0,25 CH

По свойству прямоугольного треугольника $∠BCH = ∠BAC,$ следовательно,

tg∠A = tg ∠BAC = 0,25

Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2148

Найдите основание равнобедренного треугольника, если угол при основании равен $30∘,$ а взятая внутри треугольника точка находится на одинаковом расстоянии, равном 3, от боковых сторон и на расстоянии $2√3-$ от основания.

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ точка $P$ находится на равном расстоянии от всех сторон треугольника. Значит, точка $P$ лежит на биссектрисе $BH,$ а т.к. $AB =BC,$ то $BH$ также является медианой и высотой по свойству равнобедренного треугольника.

Так как $BH$ — биссектриса, то $∠ABH = 120∘= 60∘. 2$ Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘,$ то $∘ ∠BP K = ∠BAH = 30 .$

Пусть $BK = a.$ Так как катет, лежащий против угла в $∘ 30 ,$ равен половине гипотенузы, то $BP = 2a.$

В треугольнике $BP K$ по теореме Пифагора

√ - BK2 + KP 2 = BP 2 ⇒ a2+ 9= 4a2 ⇒ a= 3

Тогда

√- BP = 2 3 BH = BP + PH = 4√3

В прямоугольном треугольнике $ABH$ $∠BAH = 30∘,$ следовательно, $√- AB = 2BH = 8 3.$ Теперь найдем $AH$ по теореме Пифагора:

∘ --√--2---√--2 AH = (8 3) − (4 3) = 12⇒ AC = 12⋅2= 24

Ответ: 24

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2147

В равнобедренном треугольнике $ABC$ $AB = BC = 30,$ $AC = 48.$ Найдите расстояние между точкой пересечения медиан и точкой пересечения биссектрис.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BK$ — медиана, высота и биссектриса. Значит, имеем:

AK = 1AC = 24 2

По теореме Пифагора в треугольнике $ABK :$

BK = ∘AB2--−-AK2-= √900−-576= 18

Пусть $M$ — точка пересечения медиан $AF$ и $BK.$ По свойству медиан точка $M$ делит медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда $BM = 12,$ $MK = 6.$

$PIC$

Пусть $T$ — точка пересечения биссектрис $AE$ и $BK.$ В треугольнике $ABK$ биссектриса $AT$ делит отрезок $BK$ на части, пропорциональные сторонам, образующим угол $A.$ Тогда получаем

TK- = TB- ⇒ TK- = 18−-TK- AK AB 24 30

Отсюда $TK = 8$ и искомое расстояние равно

TM = TK − KM =8 − 6= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1973

В прямоугольном треугольнике $CAT$ из вершины $C$ прямого угла опущена высота $CH.$ Известно, что $T H = 12, CH = 5.$ Найдите $13sin∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

По свойству прямоугольного треугольника имеем:

△CHT ∼ △CAT, ∠HCT = ∠A

Поэтому будем искать $sin∠HCT.$

В треугольнике $HCT$ имеем:

TH sin ∠HCT = TC-

$PIC$

По теореме Пифагора в треугольнике $HCT$ найдем $TC :$

T C =∘T-H2-+-CH2-= ∘122-+-52-= 13

Тогда окончательно получаем

12 sin∠A = sin ∠HCT = 13 13sin∠A = 12

Ответ: 12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1198

В треугольнике $ABC$ $AC =BC,$ $∠C = 120∘,$ $AC = 2√3.$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Проведем $CK ⊥ AB :$

$PIC$

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $CK$ также является медианой и биссектрисой, следовательно, $AK = 0,5AB$ и $∘ ∠ACK = 120- =60∘. 2$

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠CAK = 90 − 60 =30

Катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то есть $CK = 0,5AC = √3.$ Тогда по теореме Пифагора:

∘ ---2-----2 AK = AC − CK = 3 ⇒ AB = 2AK = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1197

В треугольнике $ABC$ $AC =BC = 2√3,$ $∠C = 120∘.$ Найдите высоту $AH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Так как $∠ACB = 120∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠ACH = 180 − 120 = 60

Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90∘,$ то

∘ ∘ ∘ ∠HAC = 90 − 60 = 30

Катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, следовательно, $HC = 0,5AC = √3.$ Тогда по теореме Пифагора

∘ ---2-----2 AH = AC − HC = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1196

В треугольнике $ABC$ $AC =BC,$ высота $AH$ равна $4,$ угол $C$ равен $30∘.$ Найдите $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACH.$ Катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, следовательно, $4 =AH = 0,5AC,$ откуда

AC =BC = 8

Ответ: 8

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1195

В равностороннем треугольнике $ABC$ высота $CH$ равна $2√3.$ Найдите $AB.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AC =BC,$ то $CH$ также является медианой. Следовательно, если $AH = a,$ то $AB = AC = 2a.$ Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ACH :$

2 2 2 2 2 AC = AH + CH ⇒ 4a = a + 12 ⇒ a= 2 ⇒ AB =2a = 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1194

В треугольнике $ABC$ $AB =BC = AC = 2√3.$ Найдите высоту $CH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $AC =BC,$ то $CH$ также является медианой. Следовательно, имеем:

√- AH = 0,5AB = 3

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $ACH :$

∘ ---------- CH = AC2 − AH2 = 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1193

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ угол $A$ равен $30∘,$ $AB = 2√3.$ Найдите высоту $CH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как катет, лежащий против угла $30∘,$ равен половине гипотенузы, то

√ - BC =0,5AB = 3

По свойству прямоугольного треугольника $∠BCH = ∠A = 30∘,$ следовательно, в треугольнике $BCH :$

√ - HB = 0,5BC = --3 2

Тогда по теореме Пифагора в треугольнике $BCH :$

∘---------- ∘ -- CH = BC2 − BH2 = 9 = 1,5 4

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1133

В треугольнике $ABC$ угол $C$ равен $90∘,$ $CH$ — высота, $BC = 8,$ $BH = 4.$ Найдите $sin∠A.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В треугольнике $BCH :$

sin∠BCH = BH--= 0,5 BC

По свойству прямоугольного треугольника $∠BCH = ∠BAC,$ следовательно,

sin∠A = sin ∠BAC =0,5

Ответ: 0,5

Предыдущий раздел

Следующий раздел