Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Главная
Каталог задач
Каталог заданий по ЕГЭ - Математика
Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Тема 18. Задачи с параметром

18.07 Алгебра. "Гвозди" для квадратичной функции

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела задачи с параметром

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#80060

Найдите все значения $a,$ при которых неравенство

8x2-− 20x+-16 4x2− 10x+ 7 ≤ a

является верным при всех значениях $x.$

Показать ответ и решение

2 2 4x − 10x+ 7= (2x− 2,5) +0,75>0

Значит можно домножить обе части на знаменатель и знак не изменится.

2 2 8x − 20x+ 16 − 4ax +10ax− 7a≤ 0

(4a− 8)x2+ (20 − 10a)x +7a− 16≥ 0

Случай, когда это не квадратный трёхчлен

1.

$a =2$

−2≥ 0-не правда

2.

$a <2$ Тогда если рассмотреть функцию $f$ :

f(x)= (4a− 8)x2+ (20− 10a)x +7a− 16

Это парабола, верви которой направлены вниз, вершина параболы

20− 10a 10 5 x0 =− 2(4a−-8) = 8-= 4

$f(x)$ убывает на $(5;+∞ ) 4$ - значит, нам этот случай не подходит.

3.

$a >2$ Тогда

D = (10(2− a))2− 4(4a− 8)(7a− 16)≤ 0

(a− 2)(25a− 50− 28a+ 64)≤0

a≥ 14 3

Ответ:

$a ≥ 14 3$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#36626

При каких значениях параметра $a$ уравнение

2 x +2(a− 2)x− 4a+ 5= 0

имеет два различных корня, причем оба больше $− 1$ ?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

2 y = x + 2(a − 2)x− 4a+ 5

Графиком является парабола с ветвями вверх. Чтобы оба корня были больше -1, нужно следующее:

$pict$

$PIC$

Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо $I,$ $II,$ $III,$ $IV,$ $V.$ Нам подходит лишь место $I.$ В этом месте значение функции во всех точках положительное. Но так как в $V$ месте значение функции во всех точках тоже положительное, то дополнительно накладывается условие на абсциссу вершины параболы: что она больше -1.

Решая систему выше, получаем

( ) a ∈(−∞; −1)∪ 1; 5 3

Расшифровка:
$I$ — левее левого корня
$II$ — в левом корне
$III$ — между корнями
$IV$ — в правом корне
$V$ — правее правого корня

Ответ:

$( ) a ∈(−∞; −1)∪ 1; 5 3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Ответ может отличаться от верного включением точки $a= 53$	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование	1
ИЛИ
Верно найдены корни квадратного уравнения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#18411

При каких $a$ ровно один корень уравнения

2 x − ax +2 = 0

удовлетворяет условию $1< x< 3?$

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $2 y = x − ax+ 2.$ Графиком является парабола с ветвями вверх.

Дискриминант $D = a2− 8$ может быть как отрицательным (что не подходит для нашей задачи), равным нулю или положительным (два этих случая нам как раз и нужно исследовать).

Рассмотрим отдельно случай, когда $D = 0$ , то есть $a= ±2√2-$ . При $a= 2√2-$ уравнение имеет единственный корень $x = √2$ , при $a= −2√2-$ корень равен $x= −√2.$ Второй случай не удовлетворяет условию $1 < x< 3.$ Следовательно, подходит только $√- a = 2 2$ .

Рассмотрим случай $D > 0.$ Удовлетворять условию $1 < x< 3$ может либо левый $x1$ , либо правый $x2$ корень уравнения. Если $1< x1 < 3$ , то $x2 ≥ 3$ . Если $1 < x2 < 3$ , то $x1 ≤1$ .

Проверим отдельно, чему равен один из корней уравнения, когда другой равен 1 или 3 для того, чтобы далее рассматривать только строгие неравенства.

Если $y(1)= 3− a= 0$ , то $a= 3$ , тогда второй корень равен 2, что нам подходит.

Если $y(3)= 11− 3a= 0$ , то $11 a= 3-$ , то другой корень равен $2 3$ , что нам не подходит.

Теперь если $1 < x1 < 3$ , то $x2 > 3$ .

Если $1 < x2 < 3$ , то $x1 <1$ (см рис). Заметим, что условия для обеих картинок можно записать одной системой, так как получаем то, что числа $y(1)$ и $y(3)$ должны быть разных знаков, то есть их произведение должно быть отрицательным.

$PIC$

{ 2 D = a − 8> 0 y(3)⋅y(1)< 0

{ D = a2− 8> 0 (11− 3a)(3− a)< 0

Решая систему, получаем $( ) a ∈ 3; 11 . 3$

Объединяя подходящие значения параметра, получаем окончательно

√ - [ 11) a ∈ {2 2}∪ 3;-3

Ответ:

$√- [ 11) {2 2} ∪ 3;3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#80013

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых уравнение

log x2 = log√-10(lg(10a)− ||lg x||) 100 x | a|

имеет хотя бы одно решение.

Показать ответ и решение

ОДЗ уравнения: $x >0,x ⁄=1.$ При этих $x$ уравнение можно переписать в виде

-2- lgx = lgx ⋅(1+ lga − |lgx− lga|)

Сделаем замены: $t= lgx,$ $b= lga.$ Тогда $t ∈(−∞; 0)∪(0;+∞ )$ и уравнение примет вид

t2+ 2|t− b|− 2− 2b= 0

Найдем те $b,$ при которых полученное уравнение не имеет решений или имеет решение $t= 0.$ Тогда при всех оставшихся $b$ это уравнение, ровно как и исходное, наоборот будет иметь решения.

Раскроем модуль:

⌊( ⌊ ( { t≥ b {t ≥b ||( 2 || ( 2 ||( t + 2t− 2b− 2− 2b= 0 ⇔ || ((t+ 1) = 4b +3 ||⌈{ t< b ||⌈ {t <b ( 2 ( √ - t − 2t+ 2b− 2− 2b= 0 t =1 ± 3

Вторая система не имеет решений при $√- 1− 3≥ b.$ При этих $b$ первая система должна либо не иметь решений, либо иметь решение $t= 0.$ Рассмотрим случаи:

1.

$3 4b+3 < 0 ⇔ b< − 4.$ Тогда первая система не имеет решений.

2.

$1 4b+3 = 1 ⇔ b= − 2$ — не удовлетворяет $√ - b≤ 1− 3,$ следовательно, этот случай (при нем один из корней уравнения первой системы равен 0) можно не рассматривать.

3.

$4b+3 ≥ 0,4b+ 3⁄= 1 ⇔ b ≥ − 3,b⁄= − 1. 4 2$ Тогда уравнение первой системы имеет два решения, причем оба ненулевых. Следовательно, чтобы первая система не имела решений, оба корня должны быть меньше $b.$

Рассмотрим функцию $y = (t+ 1)2 − (4b+ 3).$ Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, и она пересекает ось абсцисс в двух точках. Изобразим параболу и точку $t= b$ так, чтобы обе точки пересечения с осью абсцисс были меньше $b:$

$tb$

Таким образом, нужно, чтобы

(|y(b)> 0 (|b2− 2b− 2> 0 ||{ ||{ √ - √- |tверш < b ⇔ |− 1< b ⇔ b∈ (−1;1− 3)∪(1+ 3;+∞ ) ||(b ⁄=− 1 ||(b⁄= − 1 2 2

Пересечем $b,$ найденные в каждом случае, с $√ - b≤ 1 − 3.$ Объединив случаи, получим

√- b ∈(−∞; 1− 3)

Следовательно, при $√- b≥ 1− 3$ исходное уравнение имеет хотя бы одно решение. Значит, ответ

- b≥ 1− √3- ⇒ lg a≥ 1− √3 ⇔ a ≥ 101−√3

Ответ:

$a ∈[101−√3;+ ∞ )$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#44618

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых ровно один корень уравнения

2 ax + 4x+ a+ 1= 0

больше 1.

Показать ответ и решение

Рассмотрим два случая.

1.

$a= 0.$ Тогда уравнение является линейным и имеет единственный корень $x= − 1, 4$ меньший 1. Следовательно, это значения параметра нам не подходит.

2.

$a⁄= 0.$ Тогда уравнение является квадратным. Его дискриминант равен

( −1 − √17-)( −1 +√17-) D = 4(−a2− a+ 4)= −4 a− ---2---- a− ---2----

Рассмотрим параболу

y =ax2+ 4x +a +1

Абсцисса ее вершины равна

2 x(верш) = −a

2.1.

Пусть $D = 0,$ отсюда получаем

√ -- a = −1-±--17 2

Тогда уравнение $ax2+ 4x + a+ 1= 0$ имеет единственный корень

2 x = x(верш) = − a

При $√-- a = −1−2-17$ имеем:

x(верш) =---4√---< 1 1 + 17

Это значение параметра не подходит.

При $−1+√17 a = 2$ имеем:

4 x(верш) = 1-− √17-< 0

Это значение параметра не подходит.

2.2.

Пусть $D > 0,$ отсюда получаем

( √-- √--) a∈ −-1−--17; −-1+-17 2 2

Тогда уравнение $2 ax + 4x + a+ 1= 0$ имеет два корня.

Рассмотрим отдельно случай, когда один из корней равен 1 и определим при этом, чему равен второй корень.

Пусть $x= 1,$ тогда после подстановки вместо $x$ числа 1 уравнение $2 ax +4x +a + 1= 0$ становится верным равенством. Тогда найдем соответствующее значение параметра:

5 a +4 + a+ 1= 0 ⇔ a= − 2

Так как по теореме Виета произведение корней равно $a+-1, a$ то второй корень равен

a-+1 3 x= a :1= 5 < 1

Следовательно, $5 a= − 2$ нам не подходит.

Пусть теперь ни один из корней уравнения $ax2+ 4x+ a+ 1= 0$ не равен 1. Тогда чтобы было выполнено условие задачи, парабола $2 y = ax + 4x+ a+ 1$ должна принимать один из двух видов:

$1$
Рис. 1: 1 находится в III месте

$1$
Рис. 2: 1 находится в III месте

Рис. 1 задается системой

( |{ a> 0 |( y(1)< 0

Рис. 2 задается системой

(|{ a< 0 |( y(1)> 0

Если объединить две системы, то получим

5 a⋅y(1) < 0 ⇔ a(2a+ 5)< 0 ⇔ − 2 <a < 0

Пересечем полученное множество значений параметра с $a ⁄= 0$ и с

( √-- √--) a∈ −-1−--17; −-1+-17 2 2

Тогда окончательно получим

( 5 ) a ∈ −2;0

Ответ:

$( ) a ∈ − 5;0 2$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование (некоторые переходы не расписаны) или не рассмотрен случай $a= 0$	3

Верно наложены все условия для того, чтобы выполнялось условие задания	2

Рассмотрен случай $a= 0$ и/или верное введение функции и её исследование	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#37042

Найдите все значения параметра $a,$ при каждом из которых один корень уравнения

2 x − 2(a +1)x+ 9a− 5= 0

заключен в промежутке $[2;4),$ а другой удовлетворяет неравенству $x ≤ −3.$

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу

2 y = x − 2(a+ 1)x +9a − 5

Это парабола с ветвями вверх. Найдем дискриминант

2 D = 4(a +1) − 4(9a − 5)> 0

Отсюда получаем

a∈ (−∞; 1)∪ (6;+ ∞ )

Тогда уравнение имеет два корня.

Рассмотрим картинку, которая нам подходит:

$PIC$

Заметим, что число -3 может находиться во $II$ и в $III$ местах. Число 2 может находиться в $III$ или $IV$ месте. Число 4 может находиться только в $V$ месте.

Случаи, когда один из корней попадает в $II$ или в $IV$ место, рассмотрим отдельно. Это значит, что один из корней уравнения равен -3 или 2. Проверим, при каких $a$ это происходит.

x1 = − 3 ⇒ 9+ 6(a +1)+ 9a− 5= 0 2 11 a= − 3 ⇒ x2 =2(a+ 1)− (− 3)= 3 ∈ (2;4) x2 = 2 ⇒ 4 − 4(a+ 1)+ 9a− 5= 0 a= 1 ⇒ x1 = 2(a+ 1)− 2= 2 >− 3

Следовательно, случай $a =− 23$ нам подходит, а случай $a = 1$ — нет.

Теперь можно считать, что число -3 должно находиться в $III$ месте. Число 2 должно находиться в $III$ месте. Число 4 может находиться только в $V$ месте. Это задается следующей системой:

( ||D > 0 ||||{ y(−3)< 0 ||||y(2)< 0 ||( y(4)> 0

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем

( ] a∈ − 3;− 23

Замечание.

Условие на дискриминант здесь необязательно, так как если хотя бы в одной точке для параболы с ветвями вверх значение функции отрицательно, то автоматически парабола пересекает ось абсцисс в двух точках. Также здесь не нужно условие на абсциссу вершины, так как число 4 не может попасть в $I$ место, иначе оно было бы меньше -3.

Расшифровка мест:

$I$ — до левого корня

$II$ — в левом корне

$III$ — между корнями

$IV$ — в правом корне

$V$ — правее правого корня.

Ответ:

$( 2] a ∈ −3;−3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Не рассмотрен случай, когда один из корней может быть равен 2 или $− 3,$ из-за чего ответ может отличаться от верного невключением точки $a =− 23$	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование	1
ИЛИ
верно найдены корни квадратного уравнения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#37041

При каких $a$ корни уравнения

2 x − 2(a+ 1)x+ 9a− 5= 0

удовлетворяют условию $|x|< 6$ ?

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу $y = x2− 2(a+ 1)x +9a− 5$ . Это парабола с ветвями вверх. Рассмотрим случаи отдельно:

1) $2 D= 4(a +1) − 4(9a− 5) =0$ , откуда $a= 1;6$ . Тогда уравнение имеет один корень и это абсцисса вершины параболы

xв = a+1

Заметим, что лишь при $a= 1$ она по модулю меньше 6.

2) $D> 0$ , то есть $a∈ (−∞; 1)∪(6;+∞ )$ . Тогда нужно, чтобы была следующая картинка:

$PIC$

Она задается следующей системой

( |||| D >0 ||{ y(6)> 0 || y(− 6)> 0 ||||( −6< xв < 6

Заметим, что условие на абсциссу вершины параболы гарантирует нам, что числа $− 6$ и $6$ не попадут в одно и тоже место, например, в $V$ место.

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем $( 43 ] a ∈ −21;1$ .

Расшифровка:
$I$ – до левого корня,
$II$ – в левом корне,
$III$ – между корнями,
$IV$ – в правом корне,
$V$ – правее правого корня.

Ответ:

$a ∈(− 43;1] 21$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#37040

При каких $a$ все корни уравнения

2 2 x − 6ax+ 10a − a− 4= 0

больше $a$ .

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу $y = x2− 6ax +10a2− a− 4$ . Это парабола с ветвями вверх. Рассмотрим случаи отдельно:

1) $2 2 D= 36a − 4(10a − a− 4)=0$ , откуда $1 √-- a= 2(1± 17)$ . Тогда уравнение имеет один корень и это абсцисса вершины параболы

xв = 3a

Найдем, когда она больше $a$ :

3a> a ⇔ a> 0

Видим, это возможно лишь при положительном $a= 12(1+ √17)$ .

2) $D> 0$ , то есть $( ) a∈ 12(1− √17);12(1+ √17)$ . Тогда нужно, чтобы была следующая картинка:

$PIC$

Она задается следующей системой

( |||{D > 0 |y(a)>0 ||(xв > a

Заметим, что условие на абсциссу вершины параболы гарантирует нам, что число $a$ не попадет в $V$ место.

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем $( -] a ∈ 1;1+√217$ .

Ответ:

$a ∈(1;1+√17] 2$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#37039

При каких значениях параметра $a$ корни уравнения

2 x − 2(a +1)x+ 9a− 5= 0

удовлетворяют условию $x >5?$

Показать ответ и решение

Рассмотрим параболу $2 y = x − 2(a +1)x+ 9a− 5.$ Это парабола с ветвями вверх. Рассмотрим случаи отдельно:

1) $D = 4(a+ 1)2− 4(9a− 5)= 0,$ откуда $a= 1;6.$ Тогда уравнение имеет один корень и это абсцисса вершины параболы

xв = a+ 1

Видим, что она больше 5 лишь при $a = 6.$

2) $D > 0,$ то есть $a ∈(−∞; 1)∪ (6;+∞ ).$ Тогда нужно, чтобы была следующая картинка:

$PIC$

Она задается следующей системой

(| ||{D > 0 |y(5)> 0 ||(xв > 5

Заметим, что условие на абсциссу вершины параболы гарантирует нам, что число 5 не попадет в $V$ место.

Решая систему и объединяя с предыдущим найденным значением, получаем $a∈ [6;10).$

Расшифровка:
$I$ — до левого корня,
$II$ — в левом корне,
$III$ — между корнями,
$IV$ — в правом корне,
$V$ — правее правого корня.

Ответ:

$a ∈[6;10)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Ответ может отличаться от верного невключением $a = 6$	3
ИЛИ
Некоторые переходы недостаточно обоснованы

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верно сведено к исследованию графически или аналитически, при этом может быть верно найдено хотя бы одно из значений параметра $a$	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#37038

Найдите все значения $a,$ при которых квадратичный трехчлен

2 (a − 1)x − (2a+ 1)x +2 +5a

имеет один или два корня, каждый из которых больше 1.

Показать ответ и решение

Трехчлен квадратичный по условию, следовательно, $a⁄= 1.$ Нам подходят следующие случаи, когда $D > 0.$ Тогда число 1 должно попасть в $I$ место.

$PIC$

Теперь рассмотрим случай $D > 0$ и картинки выше.

( ||||| D > 0 |||| xв > 1 ( |||| ⌊({ ||| D > 0 { || a− 1> 0 ⇔ { x > 1 ||| ||( y(1)> 0 ||| в ||||| ||({ ( (a− 1)⋅y(1)> 0 |||| |⌈ a− 1< 0 |( ( y(1)< 0

Решая эту систему, получаем

( ) a∈ 1; 1 (2+ √13) 4

Также нам подходят случай, когда $D = 0.$ Рассмотрим этот случай отдельно:

1( √ -) D =− 4(2a − 1)2+ 13= 0 ⇔ a = 4 2± 13

Тогда вершина $xв = 22(aa+−-11)$ должна быть больше 1. Это верно лишь при $a= 14 (2+ √13).$

Объединяя все найденные случаи, получаем ответ

( √--] a∈ 1; 2+-13- 4

Ответ:

$( 2+-√13] a ∈ 1; 4$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верно найдены значения параметра $a,$ при которых уравнение имеет два корня	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#37037

Найдите все значения $a$ , для каждого из которых система

({ 2 −x + 12x − a≥ 0 ( x≤ 2

выполняется хотя бы при одном значении $x$ .

Показать ответ и решение

Перепишем систему в виде

({ 2 x − 12x+a ≤0 (x ≤2

Рассмотрим параболу $2 y =x − 12x+ a$ . Ветви ее направлены вверх. Вершина $xв = 6$ .

$PIC$

Следовательно, при $D >0$ левый корень должен удовлетворять условию $xм ≤2$ ; при $D = 0$ вершина $xtext ≥ 2$ ; при $D < 0$ условие не будет выполняться никогда.

D = 144 − 4a= 4(36 − a)

1) Пусть $D > 0$ , то есть $a< 36$ . Тогда число $2$ должно попасть в $III$ место (в $IV$ или $V$ места оно не может попасть, иначе оно будет правее вершины, а вершина равна 6). Следовательно,

y(2)≤0 ⇔ −20+ a≤ 0 ⇔ a≤ 20

Удовлетворяет условию дискриминанта.

Заметим, что условие на дискриминант в данной случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, где значение функции отрицательно для параболы с ветвями вверх, то мы автоматически имеем два корня.

2) Пусть $D= 0$ , то есть $a= 36$ . Тогда вершина параболы равна 6, что больше 2. Следовательно, этот случай нам не подходит.

Следовательно, ответ $a≤ 20$ .

Ответ:

$a ∈(−∞;20]$

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#37036

Найдите все значения параметра $a$ , при каждом из которых из неравенства

2 x − (3a+1)x+ a> 0

следует, что $x> 0$ .

Показать ответ и решение

Условие задачи значит, что решение неравенства должно содержаться в $x> 0$ . Заметим, что мы имеем дело с параболой, ветви которой направлены вверх и неравенство представляет вид $y > 0$ . У такой параболы могут быть такие виды решений:

$PIC$

В любом из этих множеств не может содержаться множество $x ∈(0;+ ∞)$ . Следовательно, ответ $a ∈∅$ .

Ответ:

$a ∈∅$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#37035

Найдите все значения $a$ , при каждом из которых среди корней уравнения

2 ax + (a+ 4)x +a +1= 0

имеется ровно один отрицательный.

Показать ответ и решение

Уравнение может быть линейным и квадратным. Рассмотрим эти случаи по отдельности.

1. Уравнение линейное, то есть $a =0$ , тогда уравнение принимает вид

1 4x+ 1= 0 ⇔ x =− 4

Этот корень отрицательный, значит, это значение $a$ нам подходит.

2. Уравнение квадратное, то есть $a⁄= 0$ . Тогда нам подходят парабола, у который $D = 0$ и $D >0$ .

$PIC$

— Случаи парабол в $D = 0$ разберем отдельно.

2 2 2 ( √ -) D= (a+ 4) − 4a(a+ 1)=− 3a +4a+ 16= 0 ⇔ a= 3 1± 13

В данном случае нам нужно, чтобы абсцисса вершины параболы $xв <0$ . Она равна

a+ 4 xв = −-2a-< 0 ⇔ a< −4,a >0

Видим, что нам подходит только значение $2( √--) a= 3 1 + 13$ .

— Пусть $D > 0$ . Рассмотрим отдельно случаи, когда один из корней равен $0$ и посмотрим, является ли второй отрицательным или нет.

y(0) =a +1= 0 ⇔ a= −1

Тогда второй корень по теореме Виета равен $x= − a+a4 =3$ . Следовательно, этот случай нам не подходит.

Теперь пусть один отрицательный, а второй точно положительный. Тогда число $0$ должно располагаться в $III$ месте. Получаем

( ||||D >( 0 |||||⌊ {a >0 ( |{|| (y(0) <0 ⇔ {D > 0 |||||| ( (a⋅y(0)<0 ||||||⌈ {a <0 ||( (y(0) >0

Решая полученную систему и объединяя с найденным ранее, получаем ответ ${ √-} a∈(−1;0]∪ 2+23-13$ .

Ответ:

$a ∈(−1;0]∪ {2+2√13} 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#37034

При каких значениях $a$ один из корней уравнения

2 2 (a + a+ 1)x +(2a− 3)x+ a− 5= 0

больше 1, а другой меньше 1?

Показать ответ и решение

Заметим, что $a2 +a + 1> 0$ при любом $a∈ ℝ.$ Следовательно, мы имеем дело с параболой, ветви которой обращены вверх. Чтобы было два корня,

D = (2a − 3)2− (a2 +a +1)(a− 5)> 0 (∗)

Пусть это выполнено. Тогда выглядеть картинка должна так:

$PIC$

Это задается следующими условиями (1 должна попасть в $III$ место):

{D > 0 y(1)< 0

Решая второе неравенство, получаем $( √-- √ -) a∈ − 2− 11;−2 + 11 .$

Ответ:

$( √-- √--) a ∈ − 2− 11;−2+ 11$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование (обосновано, что график функции парабола при любом $a$ )	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#37033

При каких $a$ корни $x1$ и $x2$ уравнения

2 (3a+ 2)x +(a− 1)x+ 4a+ 3= 0

удовлетворяют условию $x1 < − 1< x2 < 1?$

Показать ответ и решение

У уравнения должно быть два корня, следовательно, $3a+ 2⁄= 0$ и $D >0 :$

2 D = (a − 1) − 4(4a + 3)(3a+ 2)= = − 47a2− 70a− 23> 0 − 1< a < − 2, − 2 < a< − 23 3 3 47

Рассмотрим одновременно случаи, когда ветви параболы направлены вверх или вниз.

При этом параболы должны выглядеть так:

$PIC$

Получаем следующую систему:

( |||| D >0 |||| ⌊( ||||| ||||| 3a+ 2> 0 |||| ||{ ||||{ |||||| y(− 1)< 0 |||( y(1)> 0 ||| || ||||| ||(|| 3a+ 2< 0 |||| ||||{ ||||| |||| y(1)< 0 |||| ⌈|||( ( y(− 1)> 0

Решая данную систему, получаем

( 2) a∈ − 1;− 3

Расшифровка:

$I$ — левее левого корня

$II$ — в левом корне

$III$ — между корнями

$IV$ — в правом корне

$V$ — правее правого корня

Ответ:

$( 2) a ∈ −1;−3$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточное обоснование (некоторые переходы не расписаны) или не рассмотрен случай $2 a= −3$	3

Верно наложены все условия для того, чтобы выполнялось условие задания	2

Рассмотрен случай $a= − 23$ и/или верное введение функции и её исследование	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#37032

При каких $a$ неравенство

2 ax − 4x+ 3a+ 1> 0

выполнено для всех $x> 0?$

Показать ответ и решение

1. Рассмотрим случай, когда неравенство становится линейным, то есть $a= 0$ , тогда неравенство примет вид

1 −4x+ 1> 0 ⇔ x< 4

Данное неравенство не выполнено для всех $x >0$ , следовательно. этот случай нам не подходит.

2. Неравенство может быть линейным и квадратным. Рассмотрим случай, когда оно квадратичное, то есть $a ⁄=0$ .

$D= 16− 4a(3a+ 1)$ .

Рассмотрим все виды парабол в зависимости от ветвей и точек пересечения с осью абсцисс и их решения для неравенства со знаком $>$ .

$PIC$

Условие задачи означает, что множество решений неравенства должно содержать в себе множество $x> 0$ . Это возможно лишь для трех верхних парабол. Следовательно, рассматриваем только случай $a > 0$ .

1) третья парабола - $D < 0$ . Для нее это условие выполнено всегда. Тогда $a =∈(−∞; − 4)∪ (1;+∞ ) 3$ . Пересекая со случаем $a> 0$ , получаем $a> 1$ .

2) вторая парабола $D = 0$ , то есть $a= − 4;1 3$ . Для нее это условие выполнено тогда, когда $x ≤ 0 в$ .

Найдем $x = 2 в a$ . Подходит лишь при $a =− 4 3$ . Но оно не удовлетворяет случаю $a> 0$ .

3) третья парабола $D > 0$ , это при $( 4 ) a∈ − 3;1$ .

Тогда нужно, чтобы число 0 находилось $IV,V$ местах.

$PIC$

Следовательно, нужно,

( |||D > 0 {y(0)≥0 ⇔ a∈ ∅ |||( xв <0

Следовательно, ответ $a> 1$ .

Ответ:

$a >1$

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#36628

При каких $a$ существует единственный корень уравнения

2 x − ax +2 =0

удовлетворяющий условию $1 <x <3$ ?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию $y = x2− ax+ 2$ . Графиком является парабола с ветвями вверх.

Дискриминант $2 D = a − 8$ может быть как отрицательным, так и равным нулю.

Рассмотрим отдельно случай, когда $D =0$ , то есть $√- a= ±2 2$ . При $√- a= 2 2$ уравнение имеет единственный корень $√- x= 2$ , при $√- a =− 2$ корень равен $√- x= − 2$ . Второй случай не удовлетворяет условию $1< x< 3$ . Следовательно, подходит только $√- a =2 2$ .

Рассмотрим случай $D> 0$ . Удовлетворять условию $1 <x <3$ может либо левый $x1$ , либо правый $x2$ корень уравнения. Если $1 <x1 < 3$ , то $x2 ≥ 3$ . Если $1< x2 < 3$ , то $x1 ≤ 1$ . Тогда

$PIC$

({ D =a2− 8> 0 ( y(3)⋅y(1)< 0

Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо $I$ , $II$ , $III$ , $IV$ , $V$ . Нам подходят лишь $I$ или $V$ . В этих местах значение функции во всех точках положительное, если ветви направлены вверх. А также $III$ место, где значение функции отрицательное, если ветви направлены вверх.

Заметим, что если число 3 находится в $III$ , то число 1 не может попасть в $V$ , так как в таком случае было бы $3< 1$ , что неверно. Аналогично для второй картинки. Именно поэтому систему можно написать так сокращенно.

Решая систему выше и объединяя со случаем $√- a= 2 2$ , получаем $√- [ 11) a∈ {2 2}∪ 3; 3$ .

Ответ:

$a ∈{2√2}∪[3;11) 3$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#36627

При каких $a$ все корни уравнения

2 ax + (4− 2a)x + 1= 0

по модулю меньше 1?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

2 y = ax +(4− 2a)x+ 1

Ее графиком является парабола с ветвями вверх при $a> 0,$ либо парабола с ветвями вниз при $a < 0,$ либо прямая при $a = 0.$

Рассмотрим отдельно случай $a =0.$ Тогда имеем $y = 4x + 1.$ Точка пересечения с осью абсцисс — это $x = − 14.$ Она по модулю меньше 1. Следовательно, это значение параметра $a$ нам подходит.

Рассмотрим случай $a ⁄= 0.$ Число -1 должно находиться в $I$ месте, число 1 — в $V$ месте. Таким образом, чтобы оба корня по модулю были меньше 1, необходимо выполнение одной из двух систем (при $a > 0$ и $a< 0$ соответственно):

(| 2 (| 2 ||||D = (4− 2a) − 4a ≥ 0 ||||D = (4− 2a) − 4a≥ 0 |||||y(−1) >0 |||||y(−1)< 0 { { ||y(1)> 0 ||y(1)< 0 |||||xв = a−-2 ∈(−1;1) |||||xв = a-−-2∈ (−1;1) |||( a |||( a a > 0 a <0

$PIC$

Всего существует пять мест, куда можно поставить число относительно корней уравнения: слева направо $I,$ $II,$ $III,$ $IV,$ $V.$ Нам подходят лишь $I$ и $V.$ В этих местах значение функции во всех точках положительное, если ветви направлены вверх, и отрицательное, если ветви направлены вниз. Для того, чтобы оба числа 1 и -1 не попали оба, например, в $I$ место, дополнительно накладывается условие на абсциссу вершины параболы: что она по модулю меньше 1.

Объединяя решения систем выше между собой и с решением случая $a = 0,$ получаем

a∈ {0}∪[4;5)

Ответ:

$a ∈{0}∪ [4;5)$

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#36625

При каких значениях параметра $a$ один корень уравнения

2 x +ax +4 = 0

меньше 2, а другой больше 2?

Показать ответ и решение

Рассмотрим функцию

2 y = x + ax+ 4

Ее графиком является парабола с ветвями вверх. Чтобы оба корня находились по разные стороны от числа 2, необходимо следующее:

( 2 { D = a − 16> 0 ( y(2) <0

Заметим, что условие на дискриминант в данном случае необязательно, так как если есть хотя бы одна точка, где значение функции отрицательно для параболы с ветвями вверх, то мы автоматически имеем два корня.

$PIC$

Всего существует пять мест, куда можно поставить число 2 относительно корней уравнения: слева направо $I, II, III, IV, V.$ Нам подходит лишь $III.$ В этом месте значение функции во всех точках отрицательное. И это единственное место, где значение функции отрицательное.

Решая систему выше, получаем

a ∈(−∞; −4)

Ответ:

$a ∈(−∞; −4)$

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	4

Недостаточно обоснованные переходы	3

Все неравенства для выполнения условия задания составлены верно, но в решении есть ошибка или оно не завершено	2

Верное введение функции и её исследование	1
ИЛИ
Верно найдены корни квадратного уравнения

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#36624

Докажите, что уравнение

2 2 2 2 (a − a+ 1)x + (2a + 10a +3)x− 4a − 9a− 5= 0

имеет два различных корня при любом значении $a$ .

Показать ответ и решение

Нужно доказать, что $D> 0$ при любом $a$ . Заметим, что если мы будем выписывать дискриминант этого трехчлена, то получим

2 2 2 2 D = (2a + 10a+ 3) − 4(a − a+ 1)(−4a − 9a− 5)

– многочлен четвертой степени, который вряд ли удастся разложить на множители.

Будем рассуждать по-другому: если существует хотя бы одна точка $x 0$ , значение функции в которой всегда отрицательное (то есть при любом $a$ ) для параболы с ветвями вверх (какая у нас и есть), то это как раз и будет значить, что парабола пересекает ось $x$ в двух точках, то есть уравнение имеет два различных корня.

Эта точка легко подбирается – это $x0 = 1$ :

2 2 2 2 y(1)= a − a+1 +2a + 10a +3− 4a − 9a− 5= −a − 1< 0 ∀a

Следовательно, уравнение имеет два корня, причем можно заметить, что они расположены по разные стороны от числа $1$ .

Ответ:

Доказательство

Предыдущий раздел

Следующий раздел