Тема 8. Взаимосвязь функции и ее производной
8.04 Производная в точке касания как угловой коэффициент касательной
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела взаимосвязь функции и ее производной
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1577

Прямая, заданная уравнением y = kx −  23  , касается графика функции f (x)  в точке (x0;f (x0))  . Найдите k  , если f′(x0) = 7  .

Показать ответ и решение

Производная функции f (x )  в точке x0   равна угловому коэффициенту a  касательной y = ax + b  в точке (x0;f(x0))  .

Таким образом,

     ′
k = f (x0),
тогда k =  7  .
Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#1576

Прямая, заданная уравнением y = 3x+ 1,  касается графика функции f(x)  в точке (x0;f(x0)).  Найдите f′(x0).

PIC

Показать ответ и решение

Производная функции f(x)  в точке x0  равна угловому коэффициенту a  касательной y =ax +b  в точке (x0;f(x0)).  Таким образом, f′(x0)= 3.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#258

Прямая, заданная уравнением y = 1,5x,  касается графика функции f(x)  в точке (x0;f(x0)).  Найдите f′(x0).

PIC

Показать ответ и решение

Производная функции f(x)  в точке x0  равна угловому коэффициенту a  касательной y =ax +b  в точке (x0;f(x0)).  Таким образом, f′(x0)= 1,5.

Ответ: 1,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75426

На рисунке изображены график дифференцируемой функции y = f(x)  и касательная к нему в точке B.  Найдите значение производной функции f(x)  в данной точке. Ордината точки A  равна 0,5  (для тех, кого смутил рисунок).

PIC

Показать ответ и решение

Вспомним, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной к графику данной функции. Следовательно, ответ мы можем найти через поиск значения k  уравнения y = kx+ m  касательной AB.  Запишем систему по координатам точек A (0;0,5)  и B (1,4;1,2) :

{
  0,5 = 0k+ m,

  1,2 = 1,4k + m.

{0,5 = m,

 1,2 = 1,4k+ 0,5.

{
  0,5 = m,

  0,5 = k.

    ′
k = f (x0) = 0,5.
Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#72204

Прямая y(x )− 3x− 2 = 0  параллельна касательной к графику функции g(x) = x2 − 5x+ 4.  Найдите абсциссу точки касания.

Показать ответ и решение

В точке касания графика функции и касательной к нему производные обеих функций равны.

Иными словами, для того что бы найти абсциссу точки касания, следует приравнять уравнения производных g′(x)  и y′(x) :

g′(x) = y′(x),

2x− 5 = 3,

x = 4.
Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#71779

Прямая y = 4x + 6  является касательной к графику функции g = 2x2 + 16x+ c.  Найдите c.

Показать ответ и решение

В точке x0  касания графиков двух функций значения этих функций, а также значения их производных равны. Исходя из этого можем составить систему:

pict

Тогда c = 24.

Ответ: 24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#46559

Прямая, заданная уравнением y = 2kx− k,  касается графика функции f(x)  в точке (x0;f(x0)).  Найдите  ′
f (x0),  если  ′
f (x0)+ k =24.

Показать ответ и решение

Производная функции f(x)  в точке x0  равна угловому коэффициенту a  касательной y = ax+ b  в точке (x0;f(x0)).

Таким образом,  ′
f (x0) =2k,  тогда        ′
k = 0,5f (x0).

Так как f′(x0)+ k = 24,  то

24= f′(x0)+ k = 1,5⋅f′(x0)  ⇒   f′(x0) =16
Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#20614

На рисунке изображён график  y = f′(x)  — производной функции y =f (x),  определённой на интервале (−4;13).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)  параллельна прямой  y =− 2x− 10  или совпадает с ней.

xy110−1−436

Показать ответ и решение

Пусть y = kx+ b  — касательная к графику функции f(x).  Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Значит, касательная параллельна прямой y = −2x− 10  тогда и только тогда, когда k = −2.

Производная функции f(x)  в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Получаем, что касательная в точке параллельна прямой y = −2x− 10  тогда и только тогда, когда производная функции f(x)  в этой точке равна − 2.

На рисунке изображен график производной, то есть достаточно посмотреть количество точек, в которых производная равна − 2.  Это точки пересечения графика производной с прямой y = −2.  Таких точек всего пять.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#18612

На рисунке изображен график производной функции f(x),  определенной на интервале (− 4;9).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)  параллельна прямой y = −4x+ 1  или совпадает с ней.

PIC

Показать ответ и решение

Пусть y = kx+ b  — касательная к графику функции f(x).  Прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны. Тогда касательная параллельна прямой y = −4x+ 1  тогда и только тогда, когда k = − 4.

Производная функции f(x)  в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой точке. Тогда получаем, что касательная в точке параллельна прямой y = −4x+ 1  тогда и только тогда, когда производная функции f(x)  в этой точке равна -4.

На рисунке изображен график производной, то есть достаточно посмотреть количество точек, в которых производная равна -4. Таких точек всего 2.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2608

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f (x)  , определенной на интервале (−3;5).  Найдите абсциссу точки касания графика функции y = f(x)  и прямой, параллельной прямой y =x  или совпадающей с ней.

PIC

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой y = x  , то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой   y = x  , следовательно, k = 1.

Далее, если x0  — абсцисса точки касания, то

 ′
f (x0)= k = 1

Так как на рисунке изображен график производной, то нужно найти абсциссу точки, в которой f′(x0)= 1,  то есть ордината равна 1.

PIC

Заметим, что в точке x= −3  производная не определена, так как в условии задачи сказано, что она определена на интервале (−3;5).  Тогда подходит x0 =− 2.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2607

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определенной на интервале (−2;3).  Найдите на отрезке [−1;2]  абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x)  параллельна прямой y = 3x+ 1  или совпадает с ней.

PIC

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой y = 3x+ 1,  то угловой коэффициент k  касательной равен угловому коэффициенту прямой y = 3x + 1.  Следовательно, k = 3.

PIC

Далее, если x0  — абсцисса точки касания, то

 ′
f (x0)= k = 3

Так как рисунке изображен график производной, то нужно найти точку, для которой f ′(x0) = 3,  то есть ордината равна 3. Также нужно учесть, что абсцисса этой точки должна быть из отрезка [− 1;2].  Следовательно, это x0 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1581

Прямая, заданная уравнением y = 0,5kx  + k  , касается графика функции g(x) = sin (f(x)) − 2  в точке (x0;g(x0 ))  . Найдите f′(x0)  , если g ′(x0) − 1,5k = 2  , f (x0) = 2π  .

Показать ответ и решение

Производная функции g(x )  в точке x0   равна угловому коэффициенту a  касательной y =  ax + b  в точке (x0;g(x0))  .

Таким образом, 0,5k = g′(x0),  но по условию g′(x0) − 1, 5k = 2  , откуда находим g′(x0) = − 1  .

 

Так как g(x) = sin (f (x)) − 2  , то   ′                    ′             ′              ′
g (x) = (sin (f(x)) − 2) = (sin(f(x))) = cos(f (x )) ⋅ f (x)  , откуда g′(x0) = cos(f(x0)) ⋅ f′(x0)  .

 

Тогда с учётом f(x ) = 2π
    0  получим f′(x ) = g ′(x ) = − 1
    0       0  .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#1580

Прямая, заданная уравнением y = 2kx− k,  касается графика функции f(x)  в точке (x0;f(x0)).  Найдите f′(x0),  если f′(x0)+ k =12.

Показать ответ и решение

Производная функции f(x)  в точке x0  равна угловому коэффициенту a  касательной y = ax+ b  в точке (x0;f(x0)).

Таким образом, f′(x0) =2k,  тогда k = 0,5f′(x0).

Так как f′(x0)+ k = 12,  то

      ′             ′         ′
12 =f (x0) +k = 1,5 ⋅f (x0)  ⇒   f (x0) = 8
Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#1579

Прямая, заданная уравнением y = − kx + 11  , касается графика функции f (x)  в точке (x0;f (x0 ))  . Найдите f′(x0 )  , если f′(x0 ) − k = − 1  .

Показать ответ и решение

Производная функции f (x )  в точке x0   равна угловому коэффициенту a  касательной y = ax + b  в точке (x0;f(x0))  .

Таким образом, f′(x0 ) = − k  . Так как f ′(x0) − k = − 1  , то 2 ⋅ f′(x0 ) = f ′(x0) − k = − 1  , откуда   ′
f (x0) = − 0,5  .

Ответ: -0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#1578

Прямая, заданная уравнением y = kx −  6k  , касается графика функции f (x)  в точке (x0;f (x0))  . Найдите k  , если f′(x0) = − 3  .

Показать ответ и решение

Производная функции f (x )  в точке x0   равна угловому коэффициенту a  касательной y = ax + b  в точке (x0;f(x0))  .

Таким образом,

     ′
k = f (x0),
тогда k =  − 3  .
Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#1290

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определенной на интервале (−4;4).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = −1  или совпадает с ней.

PIC

Показать ответ и решение

Так как на рисунке изображен график производной, то нужно свести условие задачи к какому-то условию на производную.

Если касательная yk  параллельна прямой y = −1,  то их угловые коэффициенты равны. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен 0: yk = a,  где a  — некоторое число.

PIC

Если yk  — касательная к графику f(x)  , то ее угловой коэффициент равен f′(x0),  где x0  — абсцисса точки касания. Количество этих точек нам и нужно найти. Следовательно, f′(x0) =0.

Итак, мы свели условие задачи к производной. Как найти x0,  если мы знаем, что f′(x0)= 0?  Это значит, что нам нужно найти точку на графике  ′
f (x),  у которой ордината равна 0. Таких точек 7.

Ответ: 7

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#1286

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определенной на интервале (− 10;8).  Найдите абсциссу точки, принадлежащую отрезку [− 5;3],  в которой касательная к графику функции f(x)  параллельна прямой y =7 +2x  или совпадает с ней.

PIC

Показать ответ и решение

Так как на рисунке изображен график производной, то нужно свести условие задачи к какому-то условию на производную.

Если касательная yk  параллельна прямой y = 7+ 2x,  то их угловые коэффициенты равны. Следовательно, угловой коэффициент касательной равен 2: yk =2x +a,  где a  — некоторое число.

Если yk  — касательная к графику f(x),  то ее угловой коэффициент равен f′(x0),  где x0  — абсцисса точки касания, которую и нужно найти. Следовательно, f′(x0)= 2.

PIC

Итак, мы свели условие задачи к производной. Как найти x0,  если мы знаем, что f′(x0)= 2?  Это значит, что нам нужно найти точку на графике  ′
f (x),  у которой ордината равна 2, и определить абсциссу этой точки. Учитывая, что эта точка должна находиться на отрезке [−5;3],  она одна и ее абсцисса равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1265

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определенной на интервале (−4;7).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции y = f(x)  перпендикулярна прямой y = −0,5x+ 3.

PIC

Показать ответ и решение

Если касательная перпендикулярна прямой y = −0,5x +3,  то их угловые коэффициенты k1  и k2  связаны соотношением k1⋅k2 = − 1.  Следовательно, если k2 = −0,5,  то k1 =2.

PIC

Так как f′(x0)= k1 = 2,  где x0  — точка касания, и на рисунке изображен график производной, то на графике производной нужно найти количество точек, в которых f′(x0) =2,  то есть ордината равна 2. Таких точек три.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1264

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f(x),  определенной на интервале (−3;5).  Найдите угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x)  в точке с абсциссой 1.

xyy5−110 =3 f′(x)

Показать ответ и решение

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции y = f(x)  в точке с абсциссой x0,  равен значению производной в точке касания, то есть равен f′(x0).  Следовательно, нам нужно найти f′(1).

xyy5−1105 =3 f′(x)

Таким образом, на графике нужно найти точку, абсцисса которой равна 1, и определить ее ординату. Следовательно, f′(1)= 5.

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1263

На рисунке изображен график y = f′(x)  — производной функции f (x),  определенной на интервале (−3;8).  Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x)  параллельна прямой y =2x − 19  или совпадает с ней.

PIC

Показать ответ и решение

Если касательная параллельна прямой y = 2x− 19,  то угловой коэффициент касательной равен угловому коэффициенту прямой y = 2x − 19.  Следовательно, k = 2.

PIC

Так как f′(x0)= k =2,  где x0  — точка касания, и на рисунке изображен график производной, то нужно найти количество таких точек, в которых f′(x0)= 2,  то есть ордината равна 2. Таких точек 4.

Ответ: 4
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!