Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)
1.22 Внешние углы многоугольника и тригонометрия
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1974

В треугольнике ABC  известно, что cos(∠B + ∠C) = 0,33.  Найдите косинус угла A.

Показать ответ и решение

PIC

Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине A  равен сумме углов B  и C,  то

cos∠Aвнеш = cos(∠B + ∠C)= 0,33

Т.к. косинусы смежных углов отличаются только знаком, то

cos∠A = − cos∠A внеш = −0,33
Ответ: -0,33

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#683

Дан треугольник ABC,  причем sin(∠A +∠B )= 0,67.  Найдите синус угла ACB.

Показать ответ и решение

PIC

Т.к. в треугольнике внешний угол при вершине C  равен сумме углов A  и B,  то и

sin ∠Cвнеш = sin(∠A +∠B )= 0,67

Т.к. синусы смежных углов равны, то

sin ∠C = sin∠C внеш = 0,67
Ответ: 0,67

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#221

В треугольнике ABC  :  AB  =BC,  sin∠A = 0,96.  Найдите синус внешнего угла при вершине B.

Показать ответ и решение

PIC

Так как AB = BC,  то ∠A = ∠C.  Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника, не смежных с ним, тогда внешний угол при вершине B  равен 2⋅∠A,  а его синус равен sin (2⋅∠A ).

sin (2 ⋅∠A )= 2sin ∠A ⋅cos∠A

При помощи основного тригонометрического тождества находим cos∠A = ±0,28,  но в равнобедренном треугольнике угол при основании всегда острый, тогда cos∠A =0,28,  следовательно,

sin(2⋅∠A )= 2sin ∠A⋅cos∠A = 2⋅0,96⋅0,28 = 0,5376
Ответ: 0,5376

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#219

В треугольнике ABC  :  ∠B < 90∘,  sin∠ABC  = 0,8.  Найдите косинус внешнего угла при вершине B.

Показать ответ и решение

PIC

Синусы смежных углов равны:       ∘
sin (180 − α)= sinα,  тогда синус внешнего угла при вершине B  равен 0,8.

Используя основное тригонометрическое тождество (   2     2
sin α+ cosα = 1  ), находим, что косинус внешнего угла при вершине      B  равен ±0,6.

Так как          ∘
∠ABC  < 90,  то внешний угол при вершине B  — тупой, следовательно, его косинус отрицателен. Косинус внешнего угла при вершине B  равен − 0,6.

Ответ: -0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#2732

В треугольнике DOG  косинус угла между стороной OG  и высотой к стороне OD  равен 0,6.  Найдите синус внешнего угла треугольника при вершине O.

Показать ответ и решение

PIC PIC

Т.к. синусы смежных углов равны, то sin∠O внеш = sin∠O.  Рассмотрим два случая: когда ∠O  — острый и когда тупой. Пусть GK  — та самая высота из условия.

В первом случае из прямоугольного треугольника OGK

cos∠OGK  = sin∠O   ⇒   sin∠O внеш = cos∠OGK  = 0,6

Во втором случае из прямоугольного треугольника OGK

cos∠OGK  = sin ∠Oвнеш   ⇒   sin∠O внеш = 0,6
Ответ: 0,6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#1975

Дан выпуклый пятиугольник ANGEL,  причем известно, что sin∠NAE  = 1 = cos∠LAE.
          2  Найдите синус внешнего угла при вершине A.

Показать ответ и решение

PIC

          1
cos∠LAE = 2   ⇒   ∠LAE = 60∘

Т.к. sin∠NAE  = 12,  то ∠NAE  равен либо 30∘,  либо 150∘.  Но пятиугольник выпуклый, а это значит, что все его внутренние углы меньше   ∘
180 ,  следовательно,           ∘
∠NAE  = 30 и весь       ∘    ∘    ∘
∠A = 30 +60  =90 (иначе весь ∠A  был бы равен   ∘     ∘    ∘
60 + 150 > 180 ).

Значит, и внешний угол при вершине A  равен   ∘
90 ,  а его синус таким образом равен 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#1548

В четырёхугольнике ABCD  с тупыми углами C  и D  продолжение стороны AD  за точку D  и продолжение стороны  BC  за точку C  пересеклись в точке E  под прямым углом. При этом sin∠DCE  = 0,6.  Найдите sin∠ADC.

Показать ответ и решение

PIC

Из основного тригонометрического тождества с учётом того, что ∠DCE  — острый, получаем: cos∠DCE  = 0,8.

Из определений синуса и косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике получаем, что sin∠EDC  = cos∠DCE  = 0,8.

Так как синусы смежных углов равны, то sin ∠ADC = sin∠EDC  = 0,8.

Ответ: 0,8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#825

Дан выпуклый пятиугольник, причем сумма четырех его внутренних углов равна 420∘.  Найдите квадрат косинуса внешнего угла при вершине оставшегося пятого угла.

Показать ответ и решение

PIC

Т.к. сумма внутренних углов выпуклого n  -угольника вычисляется по формуле 180∘⋅(n − 2),  то сумма внутренних углов нашего пятиугольника равна 540∘.  Следовательно, если

                      ∘              ∘     ∘     ∘
∠H  +∠O + ∠U + ∠S = 420   ⇒   ∠E  =540 − 420 = 120

Следовательно,

           ∘         ∘
∠E внеш =180 − ∠E = 60

Значит,

             2  ∘  1
cos∠E внеш = cos 60 = 4 = 0,25
Ответ: 0,25

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#682

Дан выпуклый четырехугольник GEOM,  причем ∠G + ∠E + ∠O = 330∘.  Найдите синус внешнего угла при вершине M.

Показать ответ и решение

PIC

Т.к. сумма углов любого выпуклого четырехугольника равна 360∘,  то

        ∘     ∘    ∘
∠M  = 360 − 330 = 30

Следовательно, sin∠M = sin 30∘ = 0,5.  Т.к. синусы смежных углов равны, то sin Mвнеш = 0,5.

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#222

К каждому углу трапеции ABCD  построено по одному внешнему углу. Найдите сумму косинусов этих внешних углов.

Показать ответ и решение

PIC

Пусть AD  ∥BC,  внешние углы построены как на рисунке (при каждой вершине может быть два внешних угла, но их градусные меры совпадают, а значит, и косинусы этих углов равны и ответ не зависит от выбора угла при каждой вершине).

Сумма внешних углов при вершинах A  и B  равна    ∘
180 (так как внешний угол при вершине A  и ∠ABC  равны, как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых и секущей).

Аналогично сумма внешних углов при вершинах C  и D  равна 180∘.

      ∘                            ∘
cos(180 − α )= − cosα  ⇒     cos(180 − α)+ cosα = 0,

следовательно, сумма косинусов внешних углов при вершинах A  и B  равна 0;

аналогично сумма косинусов внешних углов при вершинах C  и D  равна 0. Таким образом, сумма косинусов внешних углов равна 0.

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#220

В невыпуклом четырёхугольнике ABCD  (∠C > 180∘ ) сторону AD  продолжили за точки A  и D,  получив по одному внешнему углу при вершинах A  и D.  ∠BAD  =2 ⋅∠CDA.  Найдите косинус внешнего угла при вершине A,  если косинус внешнего угла при вершине D  получился − 0,9.

Показать ответ и решение

PIC

Косинусы смежных углов противоположны:       ∘
cos(180 − α)= − cosα.

Косинус внешнего угла при вершине D  равен

(− 1)⋅cos∠CDA    ⇒   cos∠CDA  =0,9

∠BAD  = 2⋅∠CDA,  тогда

cos∠BAD  = 2cos2∠CDA  − 1= 0,62

Так как косинус внешнего угла равен минус косинусу угла, смежного с ним, то косинус внешнего угла при вершине A  равен − 0,62.

Ответ: -0,62
Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!