Треугольник: площадь и периметр —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 1. Геометрия на плоскости (планиметрия)

1.06 Треугольник: площадь и периметр

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела геометрия на плоскости (планиметрия)

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#17297

Две стороны треугольника равны 21 и 28. Высота, опущенная на большую из этих сторон, равна 15. Найдите высоту треугольника, опущенную на меньшую из этих сторон.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как площадь треугольника равна половине произведения высоты на основание, к которому проведена эта высота, то

S△ = 0,5⋅15⋅28

С другой стороны, если обозначить за $h$ высоту, проведенную к меньшей стороне, то

S△ = 0,5 ⋅h⋅21

Тогда окончательно имеем:

0,5⋅15⋅28= 0,5⋅h⋅21 15⋅28 h = 21 = 20

Ответ: 20

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#2510

У треугольника со сторонами 9 и 6 проведены высоты к этим сторонам. Высота, проведенная к первой стороне, равна 4. Чему равна высота, проведенная ко второй стороне?

$PIC$

Показать ответ и решение

Площадь треугольника равна полупроизведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Следовательно, с одной стороны, $S = 0,5⋅9⋅4,$ а с другой стороны $S = 0,5 ⋅6⋅h.$ Здесь $h$ — высота, которую нужно найти. Тогда имеем:

0,5⋅9 ⋅4 = 0,5 ⋅6⋅h ⇔ h= 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#1409

В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ — высота, $AD = 1,$ $DC = 3,$ $∠DBC = 45∘.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

В прямоугольном треугольнике $BCD$ имеем:

∘ ∘ ∠BCD = 90 − ∠DBC = 45 = ∠DBC

Тогда $BD = DC = 3.$ Далее, площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Тогда площадь треугольника $ABC$ равна

SABC = 0,5⋅(3+ 1) ⋅3 = 6

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#75419

Площадь $△ABC,$ в котором проведена средняя линия $FE ∥ BC,$ равна 100. Найдите сумму площадей $△F BC$ и $△BCE.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Опустим перпендикуляры $FK,$ $AL$ и $EM$ на $BC.$

Рассмотрим $△BF K$ и $△BAL :$ $∠F BK = ∠ABL$ и $∠BKF = ∠BLA,$ следовательно, $△BF K ∼ △BAL.$

BF = 1⋅BA = k. 2

С аналогичным коэффициентом соотносятся и длины $F K$ и $AL.$

Таким образом:

S△BF-C- 0,5⋅BC--⋅F-K- 1 S△BAC = 0,5⋅BC ⋅AL = 2.

То есть $S△BF C = 1020= 50.$

Абсолютно аналогичным образом рассматриваем и $△CEM$ и $△CAL,$ откуда выводим $S△BEC = 1020= 50.$

Тогда искомая сумма площадей:

S△BF C +S △BEC = 50 +50 = 100.

Ответ: 100

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#74511

Стороны треугольника равны $13,14,15.$ Найдите площадь этого треугольника.

Показать ответ и решение

$PIC$

Воспользуемся формулой Герона:

S△ABC = ∘p-⋅(p−-AB)⋅(p−-AC-)⋅(p-− BC-).

Полупериметр:

13+-14-+-15- p = 2 = 21,

∘ --------------------------- S△ABC = 21⋅(21 − 13)⋅(21− 15) ⋅(21− 14)=

√ -------------- = 3⋅7⋅4⋅2 ⋅2 ⋅3⋅7= 3⋅2⋅7 ⋅2 = 84.

Ответ: 84

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#74510

В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = 7,$ $BC = 12,$ $sin B = 0,3.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

Показать ответ и решение

$PIC$

Площадь

1 1 S△ABC = 2 ⋅AB ⋅BC ⋅sin∠ABC = 2 ⋅7⋅12 ⋅0,3= 12,6.

Ответ: 12,6

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#74361

В равнобедренном треугольнике основание больше боковой стороны на 2 см, но меньше суммы боковых сторон на 3 см. Найдите боковую сторону треугольника. Ответ дайте в см.

Показать ответ и решение

Пусть боковая сторона равнобедренного треугольника равна $x.$ Тогда оснвание $BC =x − 2,$ но с другой стороны основание $BC = 2x − 3.$

$PIC$

Решаем уравнение:
$2x − x = 2+ 3,$
$x = 5.$

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#74359

Периметр равнобедренного треугольника $ABC$ с основание $BC$ равен $40,$ а периметр равностороннего треугольника $BCD$ равен $45.$ Найдите $AB.$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с осованием $BC,$ то $AC = AB.$
По условию, треугольник $BCD$ — равносторонний. Пусть сторона этого треугольника равняется $x.$ Тогда периметр тругольника $P1 = CB + DB + DC = 45,$
$x +x + x= 45,$
$3x =45,$
$x = 15.$
Сторона треугольника $BCD$ равняется 15.

$PIC$

Периметр треугольника $ABC :$

P2 = AC + AB +BC = 40,

2AC = 40− 15= 25,

15 AC = 2 = 12,5.

Ответ: 12,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2582

Площадь равнобедренного треугольника $ABC$ равна 90, боковая сторона равна $10√3.$ К основанию $AB$ и стороне $BC$ проведены соответственно высоты $CP$ и $AH,$ пересекающиеся в точке $D.$ Найдите площадь треугольника $CDH.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то

√- CA = CB = 10 3

Тогда имеем:

√- SABC =0,5⋅CB ⋅AH = 90 ⇒ AH = 6 3

Из треугольника $HCA$ по теореме Пифагора:

∘ ---------- √- CH = CA2 − AH2 = 8 3

Так как $CP$ — высота равнобедренного треугольника $ABC,$ проведенная к основанию $AB,$ то она также является биссектрисой и медианой. Тогда по свойству биссектрисы из треугольника $HCA :$

√ - DH--= DA- ⇒ DH√--= (6--3−√-DH-) CH CA 8 3 10 3

Отсюда получаем

√- 8-3- DH = 3

Следовательно, так как треугольник $CDH$ прямоугольный, то искомая площадь равна

SCDH = 0,5 ⋅CH ⋅DH = 32

Ответ: 32

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2581

В прямоугольном треугольнике $ABC$ проведен отрезок $AD,$ причем $D ∈ BC$ и $BD = 4.$ Найдите площадь треугольника $ABD,$ если $∠C = 90∘,$ $AC = 5.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна прямой $BC,$ то отрезок $AC$ — высота тупоугольного треугольника $ABD,$ опущенная из вершины $A$ на продолжение стороны $BD.$ Так как площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию, то

1 1 SABD = 2 ⋅BD ⋅AC = 2 ⋅4⋅5= 10

Ответ: 10

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#2580

В треугольнике $ABC$ со сторонами $BC = 6,$ $AB = 4$ проведена биссектриса $BD.$ Высота $DH$ треугольника $DBC$ равна 2. Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Биссектриса делит треугольник $ABC$ на два треугольника, имеющие по равному углу. Следовательно, их площади относятся как произведения сторон, образующих эти углы:

S AB ⋅BD AB SABD-= BC-⋅BD- = BC- (∗) DBC

Площадь треугольника $BDC$ равна

1 1 SDBC = 2 ⋅DH ⋅BC = 2 ⋅2⋅6= 6

Найдем площадь треугольника $ABD$ из отношения $(∗):$

SABD = AB- ⋅SDBC = 4⋅6 =4 BC 6

Сложим площади треугольников $ABD$ и $DBC$ и получим искомую площадь треугольника $ABC :$

SABC =SABD + SDBC = 4+ 6= 10

Ответ: 10

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#2579

В треугольнике $ABC$ точка $H$ делит сторону $AB$ в отношении $2:3,$ считая от вершины $B.$ Найдите площадь треугольника $HBC,$ если площадь треугольника $ABC$ равна 15.

$PIC$

Показать ответ и решение

Треугольники $ABC$ и $HBC$ имеют общий угол $B,$ следовательно,

SHBC-= HB--⋅BC--= HB-- SABC AB ⋅BC AB

Пусть $HB = 2x,$ $AH = 3x.$ Тогда с учетом $AB = HB +AH$ получаем

HB-- --2x-- 2 AB = 2x+ 3x = 5

Значит, искомая площадь равна

SHBC = SABC ⋅ 2= 15⋅ 2= 6 5 5

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2578

В треугольнике $ABC$ даны три стороны: $AB = 26, BC =30, AC = 28.$ Найдите площадь треугольника, заключенного между биссектрисой и высотой, проведенными из вершины $B.$

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Пусть $BP$ и $BQ$ — высота и биссектриса данного треугольника $ABC$ соответственно. По формуле Герона:

∘------------------------- SABC = 42 ⋅(42− 30)(42− 28)(42− 26)= 14⋅6⋅4= 336

Запишем формулу площади треугольника $ABC$ через высоту:

SABC = AC-⋅BP- 2

Тогда

2-⋅SABC- 2⋅336 BP = AC = 28 = 24

Из свойства биссектрисы треугольника:

AQ- = AB-= 13- QC BC 15

Поэтому: $AQ = 13AC = 13. 28$

По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $APB :$

∘ ---2----2- ∘--2----2 AP = AB − BP = 26 − 24 = 10

Слeдовательно,

1 3⋅24 PQ = AQ − AP = 13− 10= 3,SBPQ = 2 ⋅PQ ⋅BP = 2 = 36

Ответ: 36

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2193

Найдите квадрат площади треугольника $ABC,$ если $AC = 3,$ $BC = 4,$ а медианы, проведенные из вершин $A$ и $B,$ взаимно перпендикулярны.

$PIC$

Показать ответ и решение

$PIC$

Т.к. $BP$ — медиана, то

SABP = SPBC ⇒ SABC = 2⋅SABP

Т.к. $AM$ и $BP$ — медианы, то точка $O$ делит их в отношении 2:1, считая от вершины. Тогда если $OM = x,$ то $AO =2x,$ если $OP =y,$ то $BO = 2y.$ Получим систему уравнений:

{ 2 2 x 2+4y2= 4 4x + y = 2,25

Из системы находим $x$ и $y :$

∘ -- x= 1 3 ∘-2,75 y = -3--

Тогда:

∘ --∘ ---- 1 2,75 SABP = 0,5 ⋅2x ⋅3y = 3⋅ 3 ⋅ 3

Найдём площадь треугольника $ABC :$

∘ -- ∘---- 1 2,75 √ -- 2 SABC = 2⋅3⋅ 3 ⋅ 3 = 11 ⇒ (SABC) = 11

Ответ: 11

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#2176

В треугольнике $ABC :$ $BD = 2$ — высота, $BC = 4,$ $AC = 12.$ Найдите расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Расстояние от точки до прямой равно длине перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую, следовательно, расстояние от точки $A$ до прямой, содержащей отрезок $BC,$ равно длине высоты $AE.$

$PIC$

Посчитаем площадь треугольника $ABC$ двумя способами:

0,5AC ⋅BD = SABC = 0,5AE ⋅BC ,

откуда $12= 2AE,$ следовательно, $AE = 6.$

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#2170

Точки $P$ и $Q$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$ соответственно. Найдите периметр треугольника $ABC,$ если периметр треугольника $AP Q$ равен 21.

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как $P Q$ — средняя линия треугольника $ABC,$ то $2P Q =BC.$

Найдём периметр треугольника $ABC :$

PABC = AB + AC + BC = 2AP + 2AQ + 2PQ = = 2(AP + AQ + PQ )= 2⋅PAPQ = 2⋅21= 42

Ответ: 42

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#2043

Найдите высоту треугольника, проведенную к стороне длиной $8,$ если высота, проведенная к стороне длиной $6,$ равна $4.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Т.к. площадь треугольника равна полупроизведению высоты и стороны, к которой эта высота проведена, то с одной стороны площадь равна

1 S = 2 ⋅6 ⋅4

Пусть $h$ — высота, которую нужно найти. Тогда с другой стороны площадь равна:

S = 1⋅8 ⋅h 2

Таким образом, получаем следующее равенство:

1 1 2 ⋅6 ⋅4 = 2 ⋅8 ⋅h ⇔ h= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#1852

В треугольнике $ABC :$ $BD$ — медиана. Площадь треугольника $ABD$ равна $1.$ Найдите площадь треугольника $ABC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Так как медиана делит треугольник на два равновеликих (то есть, с равными площадями), то площадь треугольника $BDC$ равна площади треугольника $ABD$ и равна $1.$ Тогда площадь треугольника $ABC,$ равная сумме площадей треугольников $ABD$ и $BDC,$ равна 2.

Покажем подробнее тот факт, что медиана делит треугольник на два равновеликих треугольника:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Пусть $h$ — высота, проведённая из $B$ к стороне $AC.$ Тогда площадь треугольника $ABD$ равна

0,5⋅AD ⋅h

Площадь треугольника $BDC$ равна

0,5⋅CD ⋅h

Так как $CD = AD,$ то

0,5 ⋅AD ⋅h= 0,5⋅CD ⋅h

Значит, площади треугольников $ABD$ и $BDC$ равны.

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#1410

В треугольнике $ABC :$ $CD$ — высота, $CD = √12,$ $AB =π √3,$ $AC = 2π.$ Найдите расстояние от точки $B$ до прямой, содержащей отрезок $AC.$

$PIC$

Показать ответ и решение

Расстояние от точки до прямой — длина перпендикуляра, опущенного из точки на эту прямую. Обозначим её за $h.$

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведённую к этому основанию. Так как площадь треугольника не зависит от выбора основания, то

0,5⋅AB ⋅CD = 0,5⋅AC ⋅h

Откуда

√ - √ -- 0,5⋅π 3⋅ 12 = 0,5 ⋅2π ⋅h ⇒ h= 3

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#1408

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC.$ Периметр треугольника $ABD$ равен $10,$ периметр треугольника $BDC$ равен $7,$ $BD = 3.$ Найдите периметр треугольника $ABC.$