Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 16. Сложные задачи прикладного характера

16.01 Задачи №16 из ЕГЭ прошлых лет

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела сложные задачи прикладного характера

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#83772

На двух заводах выпускают одинаковую продукцию. Известно, что если на заводе рабочие суммарно трудятся $2 t$ часов в неделю, то завод за неделю выпускает $t$ единиц продукции. Заработная плата на первом заводе для одного рабочего составляет 200 рублей в час, на втором заводе — 300 рублей в час. Определите, какое наибольшее количество товаров могут выпустить за неделю оба завода, если на зарплату каждую неделю рабочим выделяется 1200000 рублей.

Источник: ЕГЭ 2024, досрочная волна

Показать ответ и решение

Пусть на первом заводе рабочие трудились $t2$ часов, тогда завод за неделю выпустил $t$ единиц продукции. Пусть на втором заводе рабочие трудились $2 p$ часов, тогда завод за неделю выпустил $p$ единиц продукции. Следовательно, необходимо найти наибольшее значение величины $T = t+ p.$

Так как заработная плата в час составляет 200 и 300 рублей на первом и втором заводах соответственно, то

1200000= 200t2 +300p2

Выразим $t= T − p$ и подставим в уравнение:

1200000 = 200(T − p)2+ 300p2 2 2 12000 = 2(T − p) + 3p 5p2− 4T p+ 2T2− 12000 = 0

Данное квадратное относительно $p$ уравнение должно иметь корни, следовательно, его дискриминант должен быть неотрицательным:

D = (− 4T )2 − 4 ⋅5⋅(2T 2− 12000)= = 16T2− 40T2+ 240000 =240000− 24T2 ≥ 0.

Отсюда получаем, что

2 24T ≤ 240000 T2 ≤ 10000 −100≤ T ≤ 100

Cледовательно, $T ∈[0;100],$ так как $T ≥0,$ потому что это количество продукции. Значит, наибольшее возможное $T$ — это $T = 100.$

Проверим, получаются ли при этом целые неотрицательные значения для $t$ и $p.$ Это нужно сделать, так как $p$ и $t$ — количество продукции.

При $T =100$ дискриминант $D = 0,$ следовательно,

−(−4T)- 4⋅100 p= 2⋅5 = 10 = 40.

Значит,

t= T − p =100− 40= 60.

Таким образом, проверка удалась и ответом является $T = 100.$

Ответ: 100

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#64213

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 1400 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

– к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2120 тыс. рублей. Сколько рублей составит платёж в 2026 году?

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

Пусть $x$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2026 по 2030 годы. Пусть $y$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2031 по 2035 годы. Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

|----|-------------|---------------------|----------------|------------| |Год |начДиосллге дноия %| нДачоилсгл пеонсиляе % П латеж Долг после |2026-|----1400-----|----1400-+0,1⋅1400-----|--0,1⋅1400+-x---|--1400−-x---| -2027-----1400−-x-----1400−-x+-0,1(1400−-x)---0,1(1400-− x)-+x---1400−-2x---- |2028-|--1400−-2x---|1400−-2x+-0,1(1400−-2x)|0,1(1400−-2x)+-x-|-1400−-3x---| |2029-|--1400−-3x---|1400−-3x+-0,1(1400−-3x)|0,1(1400−-3x)+-x-|-1400−-4x---| |2030-|--1400−-4x---|1400−-4x+-0,1(1400−-4x)|0,1(1400−-4x)+-x-|1400-− 5x-=-S| |2031-|-----S-------|-------S+-0,1S--------|----0,1S+-y-----|---S-− y----| |2032-|----S−-y-----|---S−-y+-0,1(S-−-y)----|--0,1(S-− y)+-y--|---S−-2y----| |2033-|---S-−-2y----|--S-− 2y+-0,1(S-−-2y)--|--0,1(S−-2y)+-y--|---S−-3y----| |2034-|---S-−-3y----|--S-− 3y+-0,1(S-−-3y)--|--0,1(S−-3y)+-y--|---S−-4y----| -2035-----S-−-4y-------S-− 4y+-0,1(S-−-4y)-----0,1(S−-4y)+-y----S-− 5y-=-0--

Из таблицы следует, что $S = 5y.$ Тогда имеем:

1400 = 5x + 5y ⇒ x+ y = 280

Так как сумма всех платежей равна 2120 тыс. рублей, то

5x+ 0,1(1400+ 1400− x +1400− 2x+ 1400− 3x+ 1400 − 4x)+ +5y +0,1(S + S− y+ S − 2y +S − 3y+ S− 4y)= 2120

Отсюда получаем

5(x+ y)+ 0,1(5⋅1400− 10x + 15y)= 2120 3y− 2x =40

С учетом $x+ y =280$ имеем:

x= 160, y = 120

Тогда платеж в 2026 году в тыс. рублей составит

0,1⋅1400+ x= 140+ 160= 300

Ответ: 300 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Подробнее: 1 балл выставляется в тех случаях, когда сюжетное условие задачи верно сведено к решению математической (арифметической, алгебраической, функциональной, геометрической) задачи, но именно к решению, а не к отдельному равенству, набору уравнений, уравнению, задающему функцию, и т.п. Предъявленный текст должен включать описание того, как построена модель.

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#63799

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 800 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2026, 2027, 2028, 2029 и 2030 годов долг должен быть на какую-то одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— в июле 2030 года долг должен составлять 200 тыс. рублей;

— в июле 2031, 2032, 2033, 2034 и 2035 годов долг должен быть на другую одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года;

— к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1480 тыс. рублей. Найдите $r.$

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

Пусть $x$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2026 по 2030 годы, а $y$ тыс. рублей — величина, на которую уменьшался долг каждый год в период с 2031 по 2035. Тогда можно составить следующую таблицу, отслеживающую изменения долга (все вычисления ведутся в тыс. рублей):

|----|-------------|---------------------|----------------|-------------| |Год |начДиосллге дноия %| нДачоилсгл пеонсиляе Платеж Долг после |2026-|-----800------|----800-+0,01r⋅800-----|--0,01r⋅800-+x---|---800−-x----| -2027-----800−-x-----800−-x-+0,01r(800−-x)---0,01r(800-− x)+-x----800−-2x---- |2028-|---800-− 2x---|800-− 2x-+0,01r(800−-2x)|0,01r(800−-2x)+-x---800−-3x---| |2029-|---800-− 3x---|800-− 3x-+0,01r(800−-3x)|0,01r(800−-3x)+-x---800−-4x---| |2030-|---800-− 4x---|800-− 4x-+0,01r(800−-4x)|0,01r(800−-4x)+-x-800-− 5x-=-200| |2031-|-----200------|----200-+0,01r⋅200-----|--0,01r⋅200-+-y--|---200-− y---| |2032-|---200−-y----|200-− y-+0,01r(200−-y)|-0,01r(200-− y)+-y|---200−-2y---| |2033-|---200-− 2y---|200-− 2y-+0,01r(200−-2y)|0,01r(200−-2y)+-y---200−-3y---| |2034-|---200-− 3y---|200-− 3y-+0,01r(200−-3y)|0,01r(200−-3y)+-y---200−-4y---| -2035-----200-− 4y----200-− 4y-+0,01r(200−-4y)-0,01r(200−-4y)+-y-200−-5y-=0---

Из таблицы следует, что $200= 5y.$ Тогда $y = 40.$ Также из таблицы следует, что $600 = 5x,$ откуда $x= 120.$

Так как сумма всех платежей равна 1480 тыс. рублей, то

5x +0,01r(800+ 800− x+ 800 − 2x + 800 − 3x +800− 4x)+ +5y + 0,01r(200 +200− y+ 200− 2y+ 200− 3y+ 200 − 4y)= 1480

Тогда

x +y + 0,01r⋅(800+ 200− 2(x+ y)) =296 296−-160- 0,01r = 1000− 320 = 0,2 r = 20

Следовательно, $r = 20.$

Ответ: 20

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#63798

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 700 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1420 тыс. рублей. Сколько составит платёж в 2026 году?

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

|----|-------------|--------------------|--------------|-----------| |Год |начДиосллге дноия %| наДчоилсгл пеонсиляе % | П латеж | До&#xлг после |2026-|-----700------|---700-+0,2⋅700-----|--0,2⋅700+-x---|--700−-x---| -2027-----700−-x-----700−-x-+0,2(700−-x)---0,2(700−-x)+-x----700−-2x--- |2028-|---700-− 2x---|700-− 2x-+0,2(700−-2x)|0,2(700-− 2x)+-x|--700−-3x--| |2029-|---700-− 3x---|700-− 3x-+0,2(700−-3x)|0,2(700-− 3x)+-x|--700−-4x--| |2030-|---700-− 4x---|700-− 4x-+0,2(700−-4x)|0,2(700-− 4x)+-x|700−-5x=-S-| |2031-|-----S-------|------S+-0,2S--------|---0,2S-+-y----|---S-− y---| |2032-|----S−-y-----|--S-− y-+0,2(S-−-y)--|-0,2(S−-y)+-y--|---S−-2y---| |2033-|---S-−-2y----|-S-− 2y-+0,2(S-−-2y)--|0,2(S-−-2y)+y--|---S−-3y---| |2034-|---S-−-3y----|-S-− 3y-+0,2(S-−-3y)--|0,2(S-−-3y)+y--|---S−-4y---| -2035-----S-−-4y------S-− 4y-+0,2(S-−-4y)---0,2(S-−-4y)+y----S-− 5y-=0--

Из таблицы следует, что $S = 5y.$ Тогда $700= 5x +5y,$ откуда $x + y = 140.$

Так как сумма всех платежей равна 1420 тыс. рублей, то

5x+ 0,2(700+ 700− x+ 700− 2x+ 700 − 3x +700 − 4x)+ +5y +0,2(S + S− y+ S − 2y +S − 3y+ S− 4y)= 1420

Тогда

5(x + y)+0,2(5 ⋅700 − 10x+ 15y)= 1420 3y− 2x =20

Следовательно, из $x + y = 140$ следует, что

x = 80, y = 60

Тогда платеж в 2026 году составит

0,2⋅700+ x= 140+ 80= 220 тыс. рублей

Ответ: 220 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#63797

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле 2030 года долг должен составлять 700 тыс. рублей;

– к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2760 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Показать ответ и решение

Пусть первые 5 лет долг уменьшался на $x$ тысяч рублей. Так как через 5 лет долг стал 700 тысяч рублей, то начальная сумма была равна $700+ 5x$ тысяч рублей. При уменьшении долга на одну и ту же сумму каждый год выплачиваются начисленные в этот год проценты и сумма ежегодного уменьшения долга.

Проследить за изменением долга можно по таблице:

|------|------------|--------------------|-----------------|----------| | Год |начДиосллгендиоя % | нДаочлигслепносиляе% | Платеж |До&#xлг после |2026--|--700+-5x---|700+-5x+-0,3(700-+5x)-|-x-+0,3(700+-5x)--|-700+-4x--| |2027--|--700+-4x---|700+-4x+-0,3(700-+4x)-|-x-+0,3(700+-4x)--|-700+-3x--| |2028--|--700+-3x---|700+-3x+-0,3(700-+3x)-|-x-+0,3(700+-3x)--|-700+-2x--| |2029--|--700+-2x---|700+-2x+-0,3(700-+2x)-|-x-+0,3(700+-2x)--|-700+-x---| |2030--|--700+-x----|-700+-x+-0,3(700-+x)--|--x+-0,3(700+-x)--|---700----| |2031--|----700-----|----700+-0,3⋅700-----|-15-⋅700-+0,3⋅700--|--45 ⋅700--| |2032 | 45 ⋅700 | 45 ⋅700+ 0,3⋅ 45 ⋅700|15 ⋅700+ 0,3⋅ 45 ⋅700 35 ⋅700 | |2033---|---3⋅700----|--3⋅700+-0,3⋅-3⋅700--|1-⋅700+-0,3⋅ 3⋅700|--2⋅700---| |------|---52--------|--52----------52------|51----------52-----|--51-------| |2034---|---5 ⋅700---|--5 ⋅700+-0,3⋅-5 ⋅700|5-⋅700+-0,3⋅5 ⋅700|--5 ⋅700--| |2035 | 15 ⋅700 | 15 ⋅700+ 0,3⋅ 15 ⋅700|15 ⋅700+ 0,3⋅ 15 ⋅700 0 | -----------------------------------------------------------------------

Общая сумма выплат равна

5x+ 700+ 0,3 ⋅(5⋅700+ 15x+ 3⋅700)= 2760 9,5x= 2760− 3,4⋅700 x= 380 = 40 9,5

В итоге начальная сумма кредита равна $700+ 5x =900$ тысяч рублей.

Ответ: 900 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#63282

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 600 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на $r%$ по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2030 года долг должен составлять 400 тыс. рублей;

— к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1740 тыс. рублей. Найдите $r.$

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Москва

Показать ответ и решение

|----|-------------|---------------------|----------------|-------------| |Год | Долг до | Д олг после | Платеж | Долг после | |----|начисления %-|----начисления %-----|----------------|---платеж-а---| |2026-|-----600------|----600-+0,01r⋅600-----|--0,01r⋅600-+x---|---600−-x----| |2027-|---600−-x----|600−-x-+0,01r(600−-x)-|-0,01r(600-− x)+-x|---600−-2x---| |2028 | 600 − 2x |600 − 2x +0,01r(600− 2x)|0,01r(600− 2x)+ x 600− 3x | |2029-|---600-− 3x---|600-− 3x-+0,01r(600−-3x)|0,01r(600−-3x)+-x---600−-4x---| |----|-------------|---------------------|----------------|-------------| |2030-|---600-− 4x---|600-− 4x-+0,01r(600−-4x)|0,01r(600−-4x)+-x-600-− 5x-=-400| |2031-|-----400------|----400-+0,01r⋅400-----|--0,01r⋅400-+-y--|---400-− y---| |2032-|---400−-y----|400-− y-+0,01r(400−-y)|-0,01r(400-− y)+-y|---400−-2y---| |2033 | 400 − 2y |400 − 2y +0,01r(400− 2y)|0,01r(400− 2y)+ y 400− 3y | |2034-|---400-− 3y---|400-− 3y-+0,01r(400−-3y)|0,01r(400−-3y)+-y---400−-4y---| |----|-------------|---------------------|----------------|-------------| -2035-----400-− 4y----400-− 4y-+0,01r(400−-4y)-0,01r(400−-4y)+-y-400−-5y-=0---

Из таблицы следует, что $400= 5y.$ Тогда $y = 80.$ Также из таблицы следует, что $200 = 5x,$ откуда $x= 40.$

Так как сумма всех платежей равна 1740 тыс. рублей, то

5x +0,01r(600+ 600− x+ 600 − 2x + 600 − 3x +600− 4x)+ +5y + 0,01r(400 +400− y+ 400− 2y+ 400− 3y+ 400 − 4y)= 1740

Тогда

200+ 400+ 0,01r(5 ⋅600− 10x+ 5⋅400− 10y)= 1740 600+ 5⋅0,01r(1000− 2(40+ 80)) = 1740 5⋅760⋅0,01r = 1140 r = 30

Следовательно, $r = 30.$

Ответ: 30

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#63281

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на сумму 500 тысяч рублей на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 1250 тыс. рублей. Сколько составит платёж в 2035 году?

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна

Показать ответ и решение

|----|-------------|--------------------|--------------|-----------| |Год | Долг до | Долг после | П латеж | Долг после| |----|начисления %-|---начисления %-----|--------------|--платеж-а--| |2026-|-----500------|----500-+0,3⋅500-----|--0,3⋅500+-x---|--500−-x---| |2027-|---500−-x----|500−-x-+0,3(500−-x)--|0,3(500−-x)+-x-|--500−-2x--| |2028 | 500 − 2x |500 − 2x +0,3(500− 2x)|0,3(500 − 2x)+ x| 500− 3x | |2029-|---500-− 3x---|500-− 3x-+0,3(500−-3x)|0,3(500-− 3x)+-x|--500−-4x--| |----|-------------|--------------------|--------------|-----------| |2030-|---500-− 4x---|500-− 4x-+0,3(500−-4x)|0,3(500-− 4x)+-x|500−-5x=-S-| |2031-|-----S-------|------S+-0,3S--------|---0,3S-+-y----|---S-− y---| |2032-|----S−-y-----|--S-− y-+0,3(S-−-y)--|-0,3(S−-y)+-y--|---S−-2y---| |2033 | S − 2y | S − 2y +0,3(S − 2y) |0,3(S − 2y)+y | S− 3y | |2034-|---S-−-3y----|-S-− 3y-+0,3(S-−-3y)--|0,3(S-−-3y)+y--|---S−-4y---| |----|-------------|--------------------|--------------|-----------| -2035-----S-−-4y------S-− 4y-+0,3(S-−-4y)---0,3(S-−-4y)+y----S-− 5y-=0--

Из таблицы следует, что $S = 5y.$ Тогда $500= 5x +5y,$ откуда $x + y = 100.$

Так как сумма всех платежей равна 1250 тыс. рублей, то

5x+ 0,3(500+ 500− x+ 500− 2x+ 500 − 3x +500 − 4x)+ +5y +0,3(S + S− y+ S − 2y +S − 3y+ S− 4y)= 1250

Тогда

5(x + y)+0,3(5 ⋅500− 10x+ 5y+ 4y+ 3y+ 2y+ y)= 1250 500+ 0,3(2500− 10x+ 15y) =1250 2x =3y

Следовательно, из $x + y = 100$ следует, что

3y+ y = 100 ⇔ y = 40 2

Тогда платеж в 2035 году составит

0,3(S − 4y)+ y =1,3y = 52 тыс. рублей

Ответ: 52 тысячи рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#63280

В июле 2025 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 10 лет. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— в июле 2030 года долг должен составлять 800 тыс. рублей;

— к июлю 2035 года кредит должен быть выплачен полностью.

Известно, что сумма всех платежей после полного погашения кредита будет равна 2090 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Источник: ЕГЭ 2023, основная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Пусть первые 5 лет долг уменьшался на $x$ тысяч рублей. Так как через 5 лет долг стал 800 тысяч рублей, то начальная сумма была равна $800+ 5x$ тысяч рублей. При уменьшении долга на одну и ту же сумму каждый год выплачиваются начисленные в этот год проценты и сумма ежегодного уменьшения долга.

Проследить за изменением долга можно по этой таблице:

|----|-------------|--------------------|--------------|-------------| |Год | Долг до | Долг после | П латеж | Долг после | |----|начисления %-|---начисления %-----|--------------|---платеж-а---| |2026-|---800-+5x----|800-+5x-+0,1(800+-5x)-|x+-0,1(800-+-5x)-|---800+-4x---| -2027-----800-+4x-----800-+4x-+0,1(800+-4x)--x+-0,1(800-+-4x)-----800+-3x---- |2028 | 800 +3x |800 +3x +0,1(800+ 3x) |x+ 0,1(800 + 3x) | 800+ 2x | |----|-------------|--------------------|--------------|-------------| |2029-|---800-+2x----|800-+2x-+0,1(800+-2x)-|x+-0,1(800-+-2x)-|---800+-x----| |2030-|---800+-x----|800+-x-+0,1(800+-x)--|x+-0,1(800+-x)-|-----800-----| |2031-|-----800------|----800-+0,1⋅800-----|-160+-0,1⋅800--|800−-160=-640| |2032 | 640 | 640 +0,1⋅640 | 160+ 0,1⋅640 |640− 160= 480| |2033-|-----480------|----480-+0,1⋅480-----|-160+-0,1⋅480--|480−-160=-320| |----|-------------|--------------------|--------------|-------------| |2034-|-----320------|----320-+0,1⋅320-----|-160+-0,1⋅320--|320−-160=-160| -2035-------160-----------160-+0,1⋅160-------160+-0,1⋅160----160−-160=-0--

Общая сумма выплат равна

5x+ 0,1(800⋅5+ 15x)+ 160 ⋅5+ 0,1⋅ 800+-160⋅5 = 2 = 5x + 400 +1,5x+ 800+ 240 = 1440 +6,5x тысяч рублей.

По условию же она равна 2090 тысяч рублей. Значит,

6,5x +1440= 2090 ⇔ x= 650-= 100 6,5

В итоге начальная сумма кредита равна $800+ 5x =1300$ тысяч рублей.

Ответ: 1300 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#58735

Пенсионный фонд владеет акциями, стоимость которых равна $t2$ тысяч рублей в конце каждого года $t$ $(t= 1;2;...).$ Фонд может продать все акции в конце некоторого года и положить все вырученные с продажи средства на счет в банке. Известно, что тогда в конце каждого следующего года банк будет увеличивать сумму, находящую на счете, на 20%. В конце какого года фонд должен продать акции, чтобы прибыль к концу 30-го года была максимальной?

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Каждый год банк увеличивает сумму на счету на 20%, то есть в 1,2 раза. Если же фонд все еще держит акции, то их цена после $t$ -ого года увеличивается в

(t+ 1)2 (t+ 1)2 ( 1)2 --t2---= --t- = 1+ t раз

Этот коэффициент уменьшается с ростом $t.$ Значит, если при каком-то $t$ он стал меньше 1,2, то в каждый следующий год, начиная с $(t+ 1)$ -ого, вклад в банке будет приносить большую прибыль. В то же время до $(t+ 1)$ -ого года акции будут приносить большую прибыль.

Значит, нам нужно найти такое значение $t,$ при котором

2 2 (t+-1)-≤ 1,2 < --t--- t2 (t− 1)2

То есть нужно найти такой год, после которого акции вырастут больше чем в 1,2 раза, но после следующего — меньше чем в 1,2 раза.

Заметим, что

2 112 = 121 = 1,21> 1,2 10 100

Но уже $2 12-< 1,2, 112$ так как $121⋅1,2 = 145,2> 144.$

Таким образом,

122 112 112 < 1,2 < 102

Значит, акции нужно продать в конце 11-ого года.

Ответ: В конце 11-ого года

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#57007

В июле 2023 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга.

Сколько рублей будет выплачено банку, если известно, что кредит будет полностью погашен тремя равными платежами и общая сумма выплат на 104 800 рублей больше суммы, взятой в кредит?

Источник: ЕГЭ 2023, досрочная волна

Показать ответ и решение

Так как по условию процентная ставка составляет 25%, то каждый январь долг становится в $1 + 14 = 54$ раз больше долга на конец предыдущего года. Составим таблицу, отслеживающую изменения, связанные с долгом, где за $S$ рублей примем сумму, взятую в кредит, а за $x$ рублей — ежегодный платеж.

|----|-------------------|----------------------|-------| |Год-|Долг до-начисления-%|Долг-после-начисления %-|Платеж-| |1 | S | 54S | x | |----|------5------------|------5-(5----)-------|-------| |2---|-----(4S-−-x)-------|-----(4(-4S−-x)---)----|---x---| |3 | 54 54S− x − x | 54 54 54S− x − x | x | ---------------------------------------------------------

Так как после последнего платежа долг выплачен полностью, то получаем следующее уравнение (в левой части разность последних ячеек 3-его и 4-ого столбцов):

( ) 5(5 (5 ) ) ( 5)3 ( 5)2 5 4 4 4S − x − x − x= 0 ⇔ 4 S = x 4 + 4 + 1

По условию задачи общая сумма выплат на 104 800 рублей больше $S,$ следовательно,

3x− S =104800 ⇔ S = 3x− 104800

Подставим это значение $S$ в полученное нами уравнение:

$pict$

Следовательно, банку будет выплачено 300 000 рублей.

Ответ: 300 000 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#56120

В июле некоторого года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с долгом на конец предыдущего года;

– с февраля по июнь необходимо выплатить часть долга одним платежом.

Известно, что сумма всех выплат составила 375 000 рублей. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен четырьмя равными платежами?

Показать ответ и решение

Так как по условию процентная ставка составляет 25%, то каждый январь долг становится в $1 + 14 = 54$ раза больше долга на конец предыдущего года. Составим таблицу, отслеживающую изменения, связанные с долгом, где за $S$ рублей примем сумму, взятую в кредит, а за $x$ рублей — ежегодный платеж.

|----|-------------------|----------------------|-------| |Год-|Долг до-начисления-%|Долг-после-начисления %-|Платеж-| |1 | S | 54S | x | |----|------5------------|------5-(5----)-------|-------| |2---|----(-4S-−-x)-------|-----(4(-4S−-x)---)----|---x---| |3 | 54 54S − x − x | 54 54 54S− x − x | x | |----|5(5-(5----)---)----|5(5-(5(5----)---)---)-|-------| -4----4-4--4S−-x-−-x-−-x--4--4-4-4S-− x-−-x-−-x-----x----

( ( ( ) ) ) 5 5 5 5S− x − x − x − x = 0 4 4 4 4 ( )4 (( )3 ( )2 ) 5 S = x 5 + 5 + 5 +1 4 4 4 4

Выразим $x$ из условия на общую сумму выплат:

4x = 375 000 ⇔ x= 375000 4

Подставим это значение $x$ в полученное нами уравнение и выразим $S :$

((5)3+ (5)2+ 5+ 1)⋅ 375000 S =--4-----4-(-)44-------4-- = 54 (5 )((5)2 ) -4-+1---4--+-1-⋅375000 = (5)4⋅4 = 4 = (5+-4)(25+-16)⋅375000= 54 9-⋅41-⋅375000 9⋅41⋅600 = 54 = 1 = 221400

Следовательно, в кредит было взято 221 400 рублей.

Ответ: 221 400 рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#65510

Планируется открыть банковский вклад на 20 млн рублей на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик пополняет вклад на $x$ млн рублей, где $x$ — целое число. Найдите наименьшее значение $x,$ при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 13 млн рублей.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Составим таблицу, отслеживающую деньги на счету в банке в течение этих четырех лет:

|---|------------------------------|---------------------------------| Год Сумма в млн руб. до начисления % С умма в млн руб. после начислени&#x |-1-|--------------20--------------|--------------1,1⋅20--------------| |-2-|------------1,21⋅20------------|------------(1,122-⋅20---)----------| |-3-|---------(1,12-⋅20+-x)----------|--------(-1,1(1,12⋅20+-x)---)------| --4---------1,1-1,1--⋅20-+x--+x--------------1,1-1,1-1,1-⋅20+-x-+-x--------

Если за четыре года банк начислит на вклад больше 13 млн рублей, то получаем следующее неравенство:

1,1(1,1(1,12⋅20+ x)+ x)− 20− 2x > 13

Таким образом,

33−-1,14-⋅20- 308 x > 1,12+ 1,1− 2 = 11310

Так как $x$ — целое, то наименьшее $x= 12.$

Ответ: 12

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#65509

Планируется открыть банковский вклад на 10 млн рублей на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме этого, в начале третьего и четвертого годов вкладчик пополняет вклад на $x$ млн рублей, где $x$ — целое число. Найдите наименьшее значение $x,$ при котором банк за четыре года начислит на вклад больше 7 млн рублей.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Москва

Показать ответ и решение

Составим таблицу, отслеживающую деньги на счету в банке в течение этих четырех лет:

|---|------------------------------|---------------------------------| Год Сумма в млн руб. до начисления % С умма в млн руб. после начислени&#x |-1-|--------------10--------------|--------------1,1⋅10--------------| |-2-|------------1,21⋅10------------|------------(1,122-⋅10---)----------| |-3-|---------(1,12-⋅10+-x)----------|--------(-1,1(1,12⋅10+-x)---)------| --4---------1,1-1,1--⋅10-+x--+x--------------1,1-1,1-1,1-⋅10+-x-+-x--------

Если за четыре года банк начислит на вклад больше 7 млн рублей, то получаем следующее неравенство:

1,1(1,1(1,12⋅10+ x)+ x)− 10− 2x> 7

Таким образом,

-17−-1,14⋅10 189- x> 1,12+ 1,1− 2 =7 310

Так как $x$ — целое, то наименьшее $x= 8.$

Ответ: 8

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#65508

В июле 2026 года планируется взять кредит на 4 года в размере $S$ млн рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 30% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– с февраля по июнь необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

|----------------|----|-----|----|-----|----| |Год-------------|2026-|2027-|2028-|2029-|2030-| -Д-олг-(в-млн-руб.)---S---0,9S---0,7S--0,4S----0---

Найдите наименьшее целое значение $S,$ при котором общая сумма выплат будет не меньше 20 млн рублей.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|----|--------------|---------------|---------------|-----------------| |Год |Д олг в м лн руб. Долг в млн руб. Долг в млн руб.|Выплата в млн руб. | | до начисления|после начисления после выплаты | | |----|---процентов---|---процентов---|---------------|-----------------| |2027-|------S-------|------1,3S------|-----0,9S------|------0,4S--------| |2028-|-----0,9S------|-----1,17S------|-----0,7S------|-----0,47S-------| |2029-|-----0,7S------|-----0,91S------|-----0,4S------|-----0,51S-------| -2030-------0,4S------------0,52S--------------0-------------0,52S-------

Тогда общая сумма выплат равна

0,4S +0,47S+ 0,51S +0,52S = 1,9S

По условию $1,9S ≥ 20$ и $S ∈ℕ.$ Тогда имеем:

S ≥ 20-= 200= 10 10 > 10 1,9 19 19

Отсюда получаем $S ≥11.$ Тогда наименьшее натуральное значение $S,$ при котором общая сумма выплат не меньше 20 млн рублей, равно 11.

Ответ: 11

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#65507

В июле 2026 года планируется взять кредит на 4 года в размере $S$ млн рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего месяца;

– с февраля по июнь необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в июле каждого года долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

|----------------|----|-----|----|-----|----| |Год-------------|2026-|2027-|2028-|2029-|2030-| -Д-олг-(в-млн-руб.)---S---0,7S---0,4S--0,2S----0---

Найдите наименьшее целое значение $S,$ при котором общая сумма выплат будет не меньше 10 млн рублей.

Показать ответ и решение

Составим таблицу:

|----|--------------|---------------|---------------|-----------------| |Год |Д олг в м лн руб. Долг в млн руб. Долг в млн руб.|Выплата в млн руб. | | до начисления|после начисления после выплаты | | |----|---процентов---|---процентов---|---------------|-----------------| |2027-|------S-------|------1,2S------|-----0,7S------|------0,5S--------| |2028-|-----0,7S------|-----0,84S------|-----0,4S------|-----0,44S-------| |2029-|-----0,4S------|-----0,48S------|-----0,2S------|-----0,28S-------| -2030-------0,2S------------0,24S--------------0-------------0,24S-------

Тогда общая сумма выплат равна

0,5S+ 0,44S +0,28S+ 0,24S = 1,46S

По условию $1,46S ≥ 10$ и $S ∈ ℕ.$ Тогда

S ≥ -10-= 500= 6 62> 6 1,46 73 73

Тогда $S ≥ 7.$ Получили, что наименьшее натуральное значение $S,$ при котором общая сумма выплат не меньше 10 млн рублей — это 7.

Ответ: 7 млн рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#65506

15-ого января некоторого года планируется взять кредит в банке на сумму 1 млн рублей на 6 месяцев. Условия его возврата таковы:

– 1-ого числа каждого месяца долг возрастает на целое число $r$ процентов по сравнению с концом предыдущего месяца;

– со 2-ого по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

– 15-ого числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей:

|Дата-----------|15.01|15.02|15.03|15.04|15.05-|15.06-|15.07-| |Долг-(в-млн руб.)--1--|-0,6-|-0,4-|-0,3-|-0,2-|-0,1-|--0--| -----------------------------------------------------------

Найдите наибольшее значение $r,$ при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Источник: ЕГЭ 2023, резервная волна, Дальний восток

Показать ответ и решение

Составим таблицу, где $t= 1+ -r- = 100+-r. 100 100$

|Месяц-|Долг в-млн-руб.|Д-олг в-млн руб.|Долг-в млн-руб.|Вы-плата-в млн-руб. | | до начисления |после начисления | после вы платы | | |------|--процентов---|---процентов----|--------------|-----------------| |1-----|------1-------|-------t-------|-----0,6------|------t− 0,6-----| |2-----|-----0,6------|------0,6t------|-----0,4------|-----0,6t−-0,4-----| |3-----|-----0,4------|------0,4t------|-----0,3------|-----0,4t−-0,3-----| |4-----|-----0,3------|------0,3t------|-----0,2------|-----0,3t−-0,2-----| |5-----|-----0,2------|------0,2t------|-----0,1------|-----0,2t−-0,1-----| -6-----------0,1-------------0,1t-------------0---------------0,1t--------

Тогда общая сумма выплат в млн рублей составляет

0,1t⋅(10 +6 + 4+ 3+ 2+ 1) − 0,1(6 +4 +3 +2 +1)= 2,6t− 1,6

Так как общая сумма выплат должна быть менее 1,2 млн рублей, то имеем неравенство

2,6t− 1,6< 1,2 ⇔ t< 14 13

Отсюда $r < 100 13$ и наибольшее целое $r = 7.$

Ответ: 7

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#30774

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года в размере 700 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

— каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

— с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

— платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 400 тыс. рублей;

— к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Найдите сумму всех платежей после полного погашения кредита.

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Составим таблицу, в которой вычисления будем ввести в тыс. руб.

|--|---------------------|----------------------------|--------| |--|------Долг-до-%-------|--------Д-олг-после-%---------|П-латеж--| |1-|---------700---------|-----------1,2⋅700-----------|--400---| |2-|-----1,2⋅700−-400-----|------1,2(1,2⋅700−-400)------|--400---| |3 |1,2(1,2⋅700− 400)− 400 |1,2(1,2(1,2 ⋅700− 400)− 400) =x | x | ---------------------------------------------------------------

Тогда

x= 1,2(1,2(1,2 ⋅700 − 400)− 400)= 2 = 1,2(1,2 ⋅700− 400(1,2+ 1))= 12- (36 22-) = 10 ⋅ 25 ⋅700 − 400⋅ 10 = = 1210-⋅(36 ⋅28 − 40 ⋅22)= = 12-⋅16⋅8= 153,6 10

Тогда сумма всех платежей равна $153,6 +400+ 400= 953,6$ тыс. руб.

Ответ: 953,6 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#30773

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 30% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть по 300 тыс. рублей;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что платёж в 2029 году будет равен 860,6 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты.

Обозначим выплаты в 2027 и 2028 годах за $S1 = 300$ тыс.руб., а за $S$ тыс. руб. — сумму, на которую был взят кредит.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце "Сумма долга после выплаты" за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах "Сумма долга после начисления процентов" и "Выплата".


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

$2027$	$S$	$1,3S$	$S1$	$1,3S− S1$

$2028$	$1,3S− S1$	$1,3(1,3S − S1)$	$S1$	$1,3(1,3S − S1)− S1$

$2029$	$1,3(1,3S − S1)− S1$	$1,3(1,3 (1,3S− S1)− S1)$	$1,3(1,3(1,3S − S1) − S1)$	$0$

По условию в 2029 году кредит был погашен платежом в размере $860,6$ тыс. руб., значит, можем составить уравнение:

1,3(1,3(1,3S− S1)− S1)= 860,6 1,3(1,3(1,3S− 300)− 300) =860,6 1,3(1,3S − 300)− 300= 662 1,3(1,3S− 300)= 962 1,3S − 300 = 740 1,3S = 1040 S = 800

Значит, кредит был взят на сумму 800 тыс. руб.

Ответ:

800 тыс. рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#30772

В июле 2026 года планируется взять кредит на три года на сумму 800 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– платежи в 2027 и в 2028 годах должны быть равны;

– к июлю 2029 года долг должен быть выплачен полностью.

Известно, что общая сумма платежей будет равна 1190,4 тыс. рублей. Чему будет равна третья выплата?

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2026 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим выплаты в 2027 и 2028 годах за $S1$ (из условия они равны). По условию в 2029 году кредит был погашен.

Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что значение в столбце «Сумма долга после выплаты» за 2027, 2028 и 2029 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

2027	$S$	$1,2S$	$S 1$	$1,2S− S 1$

2028	$1,2S − S1$	$1,2(1,2S− S1)$	$S1$	$1,2(1,2S − S1)− S1$

2029	$1,2(1,2S − S1)− S1$	$1,2(1,2(1,2S − S1)− S1)$	$1,2 (1,2(1,2S− S1)− S1)$	0

По условию сумма всех выплат равна 1190,4 тыс. рублей, значит, можем составить уравнение:

2S1+ 1,2(1,2(1,2S − S1)− S1)= 1190,4 2S + 1,44 (1,2S − S )− 1,2S = 1190,4 1 1 1 0,8S1+ 1,728S− 1,44S1 = 1190,4 1,728S− 1190,4= 0,64S1 S1 =2,7S− 1860= 2,7 ⋅800− 1860= 300

Тогда выплата за 2029 год в тыс. рублей равна

1190,4 − 2S1 = 1190,4− 600 = 590,4

Ответ: 590,4 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#30771

В июле 2016 года планируется взять кредит на пять лет на сумму 1100 тыс. рублей. Условия его возврата таковы:

– каждый январь долг будет возрастать на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

– с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;

– в 2017, 2018 и 2019 годах сумма долга не изменяется;

– платежи в 2020 и в 2021 годах должны быть равны;

– к июлю 2021 года долг должен быть выплачен полностью.

На сколько рублей будут отличаться первый и последний платежи?

Источник: ЕГЭ 2022, основная волна

Показать ответ и решение

Кредит взят в июле 2016 года, то есть в этот год не производятся никакие выплаты и не начисляются проценты. Обозначим равные в 2020 и 2021 годах выплаты за $S1$ тыс. рублей.

По условию в 2017, 2018 и 2019 годах долг остается равным $S = 1100$ тыс. рублей. Составим таблицу на основе этих данных с учетом того, что:

1) значение в столбце «Выплата» за 2017, 2018 и 2019 годы будет равно разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Сумма долга после выплаты»;

2) сумма долга после выплаты за 2020 и 2021 годы будет равна разности соответствующих значений в столбцах «Сумма долга после начисления процентов» и «Выплата».


Год	Сумма долга	Сумма долга	Выплата	Сумма долга
	до начисления %	после начисления %		после выплаты

2017	$S$	$1,2S$	$0,2S$	$S$

2018	$S$	$1,2S$	$0,2S$	$S$

2019	$S$	$1,2S$	$0,2S$	$S$

2020	$S$	$1,2S$	$S1$	$1,2S − S1$

2021	$1,2S− S1$	$1,2(1,2S − S1)$	$S1$	$1,2(1,2S − S1)− S1$

По условию задачи долг был погашен полностью, значит,

36 11 36 1,2(1,2S − S1)− S1 = 0 ⇔ 25S = 5 S1 ⇔ S1 = 55S

Первый платеж был равен $0,2S,$ а последний был равен $3565S,$ значит, их разность равна

( ) 36S− 0,2S = 36-− 11 S = 25S = 5-S = 5-⋅1100= 500 55 55 55 55 11 11

Ответ: 500 тысяч рублей

Критерии оценки


Содержание критерия	Балл

Обоснованно получен верный ответ	2

Верно построена математическая модель	1

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0

Максимальный балл	2

Предыдущий раздел

Следующий раздел