Тема 13. Решение уравнений
13.06 Тригонометрические: сведение к неоднородному линейному уравнению (на формулу вспомогательного угла)
Вспоминай формулы по каждой теме
Решай новые задачи каждый день
Вдумчиво разбирай решения
ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Подтемы раздела решение уравнений
Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#1729

Решите уравнение

sinx + cos x = 1
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на √ -------   √ --
  12 + 12 =   2  :

                              √ --       √ --        √--
 1          1           1       2          2          2
√---sinx + √---cosx =  √---⇔  ----sin x + ----cosx =  ----
  2          2           2     2          2           2

Заметим, что можно принять √2--      π       π
----= sin --= cos --
 2        4       4  :

                          √ --
         π      π           2
sin xcos 4-+ sin-4 cos x =-2--

Тогда по формуле sin α cosβ + sinβ cosα  = sin (α + β)  имеем:

   (       )   √ --
sin  x + π-  = --2-⇒  x1 = 2πk,  x2 = π-+ 2πn,  k,n ∈ ℤ
         4      2                     2
Ответ:

      π
2πk,  --+ 2πn,  k,n ∈ ℤ
      2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#974

а) Решите уравнение  √2sinx+ √2 cosx = 2.

б) Найдите все его корни, принадлежащие отрезку [0;π].

Показать ответ и решение

а) Разделим обе части уравнения на 2:

√-      √ -
-2-sinx+ --2cosx= 1
2        2

Далее воспользуемся равенством

   π   √2     π
sin 4-= 2--= cos-4

Тогда имеем:

cos πsinx+ sin πcosx= 1 ⇔   sin(x+ π-)= 1
   4         4                    4
  x+ π-= π-+ 2πn  ⇔   x=  π+ 2πn, n ∈ ℤ
     4   2                4

б) Отберем корни с помощью неравенств:

    π                1      3
0 ≤ 4 + 2πn ≤π  ⇔   −8 ≤ n≤ 8

Отсюда получаем n= 0  и    π
x= 4.

Ответ:

а) π+ 2πn, n ∈ ℤ
4

 

б) π-
4

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#574

а) Решите уравнение sin x− cosx = 1.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку [− π;π].

Показать ответ и решение

а) Найдем ОДЗ: x  — произвольное число.

Разделим правую и левую части равенства на ∘12-+-(−-1)2 = √2-:

√ -      √-       √-                           √ -
--2sinx − -2-cosx = -2-  ⇒   sinxcos π-− cosx sin π-=-2  ⇒
 2        2        2             4          4   2

       (     )  √ -      ⌊x =  π+ 2πm,m ∈ ℤ
⇒   sin x− π- = --2  ⇒   ⌈ 1   2
           4     2        x2 = π + 2πn,n ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

−π ≤x1 ≤π   ⇒   − 3 ≤ m ≤ 1 ⇒   m = 0  ⇒   x = π-
                 4       4                     2

−π ≤x2 ≤π   ⇒   −1 ≤n ≤ 0  ⇒   n= − 1;0  ⇒   x = −π;π
Ответ:

а) π+ 2πm, π+ 2πn, n,m ∈ ℤ
2

 

б) − π; π-;π
    2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#408

Решите уравнение √3sin x+ cosx= 1.

Показать ответ и решение

Найдем ОДЗ: x  — произвольное число.

Разделим левую и правую части уравнения на ∘ √--2---2
    3 + 1 = 2:

√ -
--3      1       1
 2 sin x+ 2 cosx = 2

Заметим, что можно принять √3     π  1      π
2--= cos-6,2 = sin 6.  Тогда уравнение примет вид

sinx cos π+ cosxsin π-= 1
       6         6   2

По формуле синуса суммы имеем:

sin αcosβ+ sinβ cosα = sin(α+ β)

Тогда получаем уравнение

                   ⌊    π  π                   ⌊
  (    π)   1      |x + 6 =-6 + 2πk, k ∈ℤ       x1 = 2πk, k ∈ ℤ
sin x + 6- = 2  ⇒   ⌈    π- 5π              ⇒   ⌈x =  2π-+ 2πn, n ∈ ℤ
                    x + 6 = 6 + 2πn, n ∈ℤ        2   3
Ответ:

    2π
2πk, 3 + 2πn, k,n∈ ℤ

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#80009

а) Решите уравнение  sin2x = 1+ √2cosx+ cos2x.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [π-  ]
 2;2π .

Показать ответ и решение

а) Воспользуемся формулами двойного аргумента для синуса и косинуса, получим

1+ √2-cosx + 2cos2x − 1 − 2 sinxcosx= 0
                   √-
cosx(2cosx− 2sinx +  2)= 0
⌊
|⌈ cosx= 0     √-
  sinx − cosx =-2-
⌊             2
  cosx= 0
|⌈    (                  )  √ -
  √2  sinxcos π-− cosx sin π =--2
⌊           4         4     2
| cosx= 0
⌈   (    π)   1
  sin x − 4- = 2
⌊    π-
| x=  2 + πp,p∈ ℤ
|||    π-  π-
|| x− 4 = 6 + 2πn,n ∈ ℤ
⌈    π   5π
  x− 4-= -6 +2πm, m ∈ℤ
⌊    π-
| x=  2 + πp,p∈ ℤ
|||    5π
|| x=  12 + 2πn,n∈ ℤ
⌈    13π
  x= -12 + 2πm,m ∈ ℤ

б) Отберем корни с помощью тригонометрической окружности. Для этого отметим на ней дугу, соответствующую отрезку [    ]
 π;2π ,
 2  концы этой дуги и решения, которые лежат на ней.

π312π3ππ
2212

Следовательно, на отрезке [π-   ]
  2;2π лежат числа π-13π 3π
2; 12 ; 2 .

Ответ:

а) 5π+ 2πn,n∈ ℤ; 13π +2πm, m ∈ℤ; π-+ πp,p∈ ℤ
12            12             2

 

б) π  13π  3π
2-;12-;2-

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#75178

Снегурочка готовится к сдаче ЕГЭ 2024 и изучает тригонометрию. В качестве тренировки Дед Мороз задал ей решить уравнение

sinx +cosx+ cos2 x= sin2x.

Во время своего отпуска в Великом Устюге это же уравнение увидел АН, после чего задал решить его своим ученикам на курсе, тем более что все затрагиваемые в его решении темы (а их тут минимум три штуки) уже были разобраны на вебинарах.

а) Решите уравнение

sinx +cosx+ cos2 x= sin2x.

б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [−π;0.].

Показать ответ и решение

а) По формуле разности квадратов a2 − b2 = (a− b)(a+ b):

sin x+ cosx + cos2x− sin2x = 0,

sinx + cosx +(cosx− sinx)(cosx + sinx)= 0,

(sinx +cosx)(1 + cosx − sin x)= 0,

[ sin x+ cosx = 0,

 1+ cosx − sinx= 0.

Рассмотрим первое уравнение совокупности:

sinx +cosx= 0.

Перед нами однородное уравнение первого порядка, колдуем над ним следующим образом: допустим, косинус в этом уравнении равен 0. Тогда sinx+ 0 =0,  то есть и синус также равен 0. Тут возникает противоречие с ОТТ, ведь 02+ 02 ⁄= 1.  Следовательно, этот случай не дает корней, и можно разделить обе части уравнения на cosx.  Тогда получим:

tgx +1 = 0,

tgx =− 1,

     π
x =− 4-+πn,n ∈ ℤ.

Рассмотрим второе уравнение совокупности:

1+ cosx− sinx = 0,

sinx − cosx= 1.

Здесь удобно вспомнить технику введения вспомогательного угла. Разделим уравнение на √ -2---2  √-
  1 + 1 =  2 :

√-       √-       √-
-2-sinx − -2cosx = -2,
 2       2        2

   ( )         ( )       √ -
cos π- sinx − sin π cosx = --2,
    4           4         2

            √-
  (    π)   -2-
sin x − 4 =  2 .

Получили простейшее уравнение, решением которого являются две серии:

⌊x − π= π-+ 2πn,n∈ ℤ,
|⌈    4   4
 x− π-= 3π +2πn,n ∈ℤ.
    4    4

⌊
 x= π-+ 2πn,n∈ ℤ,
⌈   2
 x= π + 2πn,n ∈ ℤ.

б) Реализуем отбор графическим методом:

PIC

Минимальные вычисления для отобранных корней:

     π-          π-
x1 = −4 + 2π⋅0= − 4,

x2 = π+ 2π⋅(−1)= −π.
Ответ:

а) x = − π-+ πn;
     4  x = π+ 2πn;  x = π+ 2πn;
    2  n ∈ ℤ;
б) − π;− π4.

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2057

а) Решите уравнение

                   √ --
− 2 cosx = 2sinx −   6

б) Найдите все его корни, удовлетворяющие условию |x| < 1  .

Показать ответ и решение

а) Преобразуем уравнение к виду

               √ --
               --6-
sin x + cosx =   2

Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на   -------     --
√ 12 + 12 = √ 2  :

 

                       √ --        √ --       √ --        √--
√1-cos x + √1--sin x = -√-6-   ⇒    --2-cosx + --2-sin x =  -3--  ⇒
  2          2        2  2          2          2           2

 

по формуле синуса суммы sin α cosβ + sinβ cos α = sin(α + β)

 

                               √ --                       √--
         π-           π-       --3-           (π-    )    -3--
⇒    sin 4 cosx + cos 4 sin x =  2    ⇒     sin  4 +  x  =   2    ⇒

 

     ⌊ π        π                        ⌊      π
       --+ x =  --+ 2πn, n ∈ ℤ             x = ---+  2πn,n ∈  ℤ
     | 4        3                        |     12
⇒    ⌈ π        2π                  ⇒    ⌈     5 π
       --+ x =  ---+ 2 πm, m ∈  ℤ          x = --- + 2πm, m  ∈ ℤ
       4         3                              12

 

б) Отберем корни.
Заметим, что условие |x| < 1  равносильно условию x ∈ (− 1;1)  .

 

1)

− 1 < -π-+  2πn <  1   ⇒    − 1--− -1- < n < -1- − -1-
      12                      2π   24        2 π   24

Заметим, что т.к. 3 < π <  4  , то 18 < 21π < 16   .
Следовательно, точно можно сказать, что − 1 < − 21π − 214 < 0  и 0 < 12π − 124 < 1  .

 

Таким образом, целые n  , удовлетворяющие неравенству, это n = 0  , при котором получается корень      π
x =  ---
     12  .

 

2)

      5π                      1     5          1    5
− 1 < ---+ 2πm  <  1   ⇒    − ---−  ---< m  < ---−  ---
      12                      2π    24        2π    24

Аналогично,         -1   -5
− 1 < − 2π − 24 < 0  и       -1   -5
− 1 < 2π − 24 < 0  . Таким образом, в данном случае нет целых m  , удовлетворяющих неравенству.

Ответ:

а)  π         5π
---+ 2 πn; ---+  2πm; n,m  ∈ ℤ
12         12

 

б) π--
12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#2056

а) Решите уравнение

                     √ --
cos 2x − sin 2x = 0, 5  6

б) Найдите все его корни из промежутка [      ]
 − π-;π
   2 .

Показать ответ и решение

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на √ -------   √ --
  12 + 12 =   2  :

 

                           --          --           --          --
 1           1           √ 6         √ 2          √ 2         √ 3
√--cos 2x − √---sin 2x =  -√---  ⇒    ----cos2x −  ---sin2x =  ----  ⇒
  2           2          2  2         2            2           2

 

по формуле косинуса суммы cosα cos β − sin α sin β = cos(α + β )

 

                                  √ --          (        )   √ --
         π-            π-         --3-            π-         --3-
⇒    cos 4 cos2x −  sin 4 sin 2x =   2    ⇒    cos  4 + 2x   =  2    ⇒

 

     ⌊ π         π                         ⌊       π
       --+ 2x  = --+ 2 πn,n ∈ ℤ              x = − ---+ πn, n ∈ ℤ
⇒    |⌈ 4         6                    ⇒    |⌈       24
       π-          π-                              5π-
       4 + 2x  = − 6 + 2πm,  m ∈ ℤ           x = − 24 + πm,  m ∈  ℤ

 

б) Отберем корни.

 

1)

  π      π                     11         1
− --≤ − ---+  πn ≤ π   ⇒     − ---≤ n ≤  1---
  2     24                     24         24

Таким образом, среди целых n  подходят только n =  0;1  . При этих значениях n  получаем корни        π   23π
x =  − --; ----
       24   24  .

 

2)

  π      5π                     7           5
− --≤  − ---+ πm  ≤ π    ⇒    − ---≤ m  ≤ 1 ---
  2      24                     24          24

Таким образом, среди целых m  подходят только m  = 0;1  . При этих значениях m  получаем корни        5π  19π
x =  − --; ----
       24   24  .

 

Ответ:

а)    π          5π
−  ---+ πn; − ---+ πm,  n,m  ∈ ℤ
   24         24

 

б)   5π-    π-- 19-π  23π-
− 24 ; − 24;  24 ;  24

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#2055

а) Решите уравнение  √3cosx− sin x= 2.

б) Найдите все его корни из промежутка [−π;3,5π].

Показать ответ и решение

а) Это уравнение имеет вид неоднородного линейного уравнения. Следовательно, разделим правую и левую части уравнения на ∘ -√--2-----2-
  ( 3) + (− 1) =2 :

  √ -
  --3cosx− 1 sinx = 1
   2       2
cos π-cosx − sin π-sinx = 1
   6         6

По формуле косинуса суммы имеем:

cosαcosβ− sinα sinβ = cos(α+ β)

Тогда уравнение примет вид

     (π    )
   cos -6 + x = 1
 π
 6-+ x= 2πn, n ∈ ℤ
     π
x = −6-+ 2πn, n ∈ℤ

б) Отберем корни с помощью неравенств.

−π ≤ − π-+ 2πn≤ 7π
       6        2
     5-      11
   − 12 ≤ n ≤ 6

Таким образом, подходящие целые n =0;1.  При этих значениях n  получаем корни

x = − π-; 11π
     6   6
Ответ:

а) − π+ 2πn, n∈ ℤ
  6

 

б) − π-; 11π
   6  6

Критерии оценки

Содержание критерия

Балл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте а)

1

ИЛИ

получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов: пункта а) и пункта б)

Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

0

Максимальный балл

2

Комментарий.

Ответ в задании с развёрнутым ответом – это решение и вывод (называемый ответом).

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#2049

а) Решите уравнение sin 4x − cos4x =√2.

б) Найдите все его корни, принадлежащие промежутку (  7π    )
 − 2-;−2π  .

Показать ответ и решение

а) Разделим правую и левую части уравнения на √-
 2  с учетом того, что 1    √2
√2-= 2--:

√ -        √-
--2        -2-                       π-          π-
 2 ⋅sin 4x −  2 ⋅cos4x = 1  ⇒   sin4x⋅cos4 − cos4x ⋅sin4 = 1  ⇒

       (    π)              π   π
⇒   sin 4x− 4- = 1  ⇒   4x− 4-= 2-+ 2πm, m  ∈ℤ   ⇒

⇒   4x= 3π + 2πm, m ∈ℤ   ⇒   x= 3π + πm, m ∈ ℤ
         4                      16   2

б) Отберем корни с помощью неравенств.

  7π   3π  π                3         3
− 2- < 16 + 2-m <− 2π ⇒   −78 < m < −48

Таким образом, удовлетворяющие полученному неравенству целые m = −7;−6;−5.  При этих значениях m  получаем корни x = − 53π;− 45π-;− 37π.
      16   16    16

Ответ:

а) 3π  π-
16 + 2m, m ∈ ℤ

 

б) − 53π ;− 45π;− 37π
   16   16    16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#1728

Решите уравнение  cosx= √3 sinx− 1.

Показать ответ и решение

Перепишем уравнение в виде

     √ -
cosx −  3sin x= −1

Разделим левую и правую части уравнения на 2:

       √-
1cosx− -3-sinx = − 1
2       2        2

Заметим, что можно принять

√3-     π   1     π
-2-= sin 3,  2 =cos3-

Тогда уравнение примет вид

cosxcos π-− sinxsin π-= − 1
       3         3    2

Далее воспользуемся формулой

cosαcosβ− sinα sinβ = cos(α+ β)

Тогда имеем:

          cos(x + π) =− 1
                 3     2
    2π  π-             2π   π-
x1 = 3 − 3 + 2πn, x2 = − 3 − 3 + 2πk
    π-
x1 = 3 + 2πn, x2 = −π+ 2πk, k,n ∈ ℤ
Ответ:

 π-+ 2πn, − π+ 2πk, k,n∈ ℤ
 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#1253

а) Решите уравнение

                (      )
cos π-cosx − cos  π-− x  sin π-=  1-
   3              2         3    2

б) Найдите все его корни из промежутка     √ --
(− 1; 2)  .

Показать ответ и решение

а) По формуле приведения    ( π     )
cos  --− x   = sinx
     2  . Тогда уравнение примет вид неоднородного линейного уравнения:

    π                 π   1            ( π    )    1
cos 3-cosx − sin xsin 3-= 2-   ⇒    cos  3-+ x  =  2-  ⇒

(преобразование было сделано по формуле косинуса суммы cos αcos β − sinα sin β = cos(α +  β)  )

 

      ⌊π        π                         ⌊
       --+  x = --+  2πn,n ∈  ℤ             x = 2πn, n ∈ ℤ
⇒     |⌈ 3       3                    ⇒    ⌈
       π-         π-                        x = − 2π-+  2πm, m  ∈ ℤ
        3 + x = − 3 + 2πm,  m ∈  ℤ                 3

б) Отберем корни.

 

1)

             √ --          1        √2--
− 1 < 2πn  <   2   ⇒    − ---<  n < ----
                          2π         2π

Заметим, что т.к. 3 < π <  4  , то − 1 < − 21π < 0  и     √2--
0 < ----< 1
    2π  . Следовательно, единственное целое подходящее n = 0  . Значит, корень x = 0  .

 

2)

                                                 √ --
        2π-         √ --          1--  1-        --2-  1-
− 1 < − 3  + 2πm  <   2   ⇒     − 2π + 3 <  m <  2π  + 3

Заметим, что 1 < -1 <  1
8   2π    6   , следовательно, 1 < − 1-+  1 < -5
6     2π   3   24   , то есть это некоторое положительное число меньше 1  ;

 

 √ --      √ --       √ --
3--2 +-8-< --2-+  1-< --2-+-2
   24       2π    3      6  .

 

Как известно,       √ --
1,4 <   2 < 1,5  , следовательно,          √--
12,2 < 3  2 + 8 < 12, 5  и       √ --
3,4 <   2 + 2 < 3,5  . Значит, обе дроби 3√2+8
-24---   и √2+2
-6---   — это также некоторые положительные меньшие 1  числа. Следовательно, можно для удобства записать, что

0,...<  m <  0,...,

то есть данное неравенство не имеет решений среди целых чисел.

Ответ:

а)         2π
2πn;  − ---+ 2πm;  n, m ∈ ℤ
        3

 

б) 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#771

а) Решите уравнение         2π      ( π-  )   3π
sin2x sin 5 + cos2  2 − x cos 5 = 1.

б) Найдите все его корни из промежутка (       )
 17π; 37π .
      2

Показать ответ и решение

а) Заметим, что по формулам приведения:

 

    (     )
cos2 π-− x = cos(π − 2x)= − cos2x
     2  ;

 

          (      )
cos 3π = cos π− 2π  = − cos 2π
    5           5         5  .

 

Следовательно, уравнение переписывается в виде

       2π          2π             (    2π)
sin2x sin-5 + cos2xcos-5 = 1  ⇒   cos 2x− -5  = 1  ⇒

(преобразование было сделано по формуле косинуса разности cosα cosβ + sinαsinβ =cos(α − β)  )

 

        2π                     π-
⇒   2x−  5 = 2πn,n∈ ℤ  ⇒   x = 5 +πn,n ∈ℤ

б) Отберем корни.

 

     π        37π         4        3
17π <-5 + πn< -2-  ⇒   165 < n < 1810

Таким образом, целыми решениями этого неравенства будут n= 17;18  , при которых получаются корни     86π  91π
x = -5-; 5--  .

Ответ:

а) π+ πn,n ∈ℤ
5

 

б) 86π; 91π
 5    5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#409

Решите уравнение

4sinx + 3 cosx = 5
Показать ответ и решение

ОДЗ: x  – произвольное. Решим на ОДЗ.

Разделим правую и левую части уравнения на √ -------
  42 + 32 = 5  :

4-       3-
5 sinx + 5 cos x = 1

Т.к. (  )2   (  )2
  4-      3-
  5   +   5    = 1  , то по основному тригонометрическому тождеству следует, что существует такой угол ϕ  (пусть он будет из (   π)
 0; --
    2 ), что 4
--= cosϕ
5  , а 3
--= sinϕ
5  .

 

Тогда уравнение примет вид:

                                                   π-
sin x cosϕ + sinϕ cosx =  1 ⇒ sin(x + ϕ) = 1 ⇒  x = 2 −  ϕ + 2πn, n ∈ ℤ

Сделаем обратную подстановку: т.к. cos ϕ = 4-⇒  ϕ = arccos 4-⇒
        5               5

    π          4
x = 2-− arccos 5-+ 2πn,  n ∈ ℤ
Ответ:

 π         4
-- − arccos--+  2πn, n ∈ ℤ
 2         5

Рулетка
Вы можете получить скидку в рулетке!