Поиск наибольшего/наименьшего значения у произведения —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32483

Найдите наибольшее значение функции

2 y =(x− 2)(x− 4)+ 5

на отрезке $[1;3].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ$ . Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

′ 2 y= 2(x− 2)(x− 4)+ (x − 2) = (x − 2)(3x− 10)

Найдем нули производной:

′ 10 y =0 ⇒ (x− 2)(3x − 10)= 0 ⇔ x =2; 3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [1;2)$ производная положительна, то есть функция $y =y(x)$ возрастает; при $x∈ (2;3]$ производная отрицательна, то есть функция убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в точке $x =2$ , и оно равно

y(2)= (2− 2)2(2− 4)+5 =5

Ответ: 5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32482

Найдите наименьшее значение функции $2 y = (x +3) (x+ 5)− 1$ на отрезке $[−4;−1].$

Показать ответ и решение

Функция определена при всех $x ∈ℝ.$ Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:

y′ = 2(x + 3)(x+ 5)+ (x + 3)2 = (x+ 3)(3x +13)

Найдем нули производной:

13 y′ = 0 ⇒ (x + 3)(3x+ 13)= 0 ⇔ x= − 3-; −3

Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких промежутков:

$PICT$

При $x∈ [− 4;−3)$ производная отрицательна, то есть функция $y = y(x)$ убывает. При $x∈ (−3;−1]$ производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает в точке $x = −3:$

2 y(−3)= (−3+ 3) (− 3+ 5)− 1 = −1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#2251

Найдите наименьшее значение функции

y = 2x2 ⋅ ex − 3

Показать ответ и решение

1) Найдем производную:

y′ = 4x ⋅ ex + 2x2 ⋅ ex = 2x (x + 2) ⋅ ex

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

x 2x(x + 2) ⋅ e = 0 ⇔ x(x + 2) = 0

откуда находим корни $x1 = − 2$ , $x2 = 0$ . Производная функции $y$ существует при любом $x$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

По полученному эскизу нельзя сказать наверняка, действительно ли в точке локального минимума $x = 0$ значение функции наименьшее, или же при каком-то отрицательном $x$ значение функции окажется меньше, чем при $x = 0$ . Найдём $y (0)$ :

y(0) = 2 ⋅ 0 ⋅ e0 − 3 = − 3

Рассмотрим произвольное $x0 < 0$ , тогда

y(x0) = 2x02 ⋅ ex0 − 3

Поскольку $2 x0 ≥ 0$ и $x0 e ≥ 0$ , то

2 x0 y(x0) = 2x0 ⋅ e − 3 ≥ 0 − 3 ≥ − 3

и наименьшее значение функции $y$ равно $y(0) = − 3$ .

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#1653

Найдите наименьшее значение функции

x y = x ⋅e ⋅e− 11

Показать ответ и решение

1) Найдем производную:

′ x x x+1 y = e ⋅e+ x ⋅e ⋅e = (x+ 1)⋅e

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

y′ = 0 ⇔ (x+ 1)⋅ex+1 = 0 ⇔ x = − 1

(так как $et > 0$ при любом $t$ и на этот множитель можно поделить обе части уравнения).

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 1$ — точка минимума и наименьшее значение функции $y$ равно

y(− 1) = − 1⋅e−1 ⋅e− 11 = − 1− 11 = − 12

Ответ: -12

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#22844

Найдите наибольшее значение функции $y = (x + 20)2e−18−x$ на отрезке $[− 19;− 17]$ .

Показать ответ и решение

$y′ = ((x + 20)2)′+ (x+20 )2(e−18−x)′ = 2(x+20 )e−18−x− (x+20 )2e−18− x = −18−x −18−x − 18−x = (x+20 )e (2− (x+20)) = (x+20 )e (− x− 18) = − (x+18 )(x+20 )e$

Анализируя производную на отрезке $[− 19;− 17]$ , видно, что $x = − 18$ — единственная точка экстремума, причём при $− 18 < x ≤ − 17$ производная отрицательная, а при $− 19 ≤ x < − 18$ производная положительная. Тогда $x = − 18$ — точка максимума функции на отрезке. Тогда наименьшее значение функции на отрезке равно $2− 18−(−18) 2 f(− 18) = (− 18+ 20) e = 2 = 4$ .

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#11720

Найдите наименьшее значение функции

2 −4−x y = (x + 4)e

на отрезке $[− 5;− 3].$

Показать ответ и решение

Найдем критические точки заданной функции, для этого вычислим её производную:

′ −4− x 2 −4−x − 4− x y = 2(x + 4)⋅e + (x+ 4) ⋅(− e ) = e (x + 4)(− x− 2)

Далее найдем нули производной:

⌊ e−4−x = 0 || e−4−x(x+ 4)(− x − 2) = 0 ⇒ |⌈ x+ 4 = 0 − x − 2 = 0

Так как $e−4−x > 0$ при любом вещественном $x,$ то критическими являются точки

x = − 2 и x = − 4

Но точка $x = − 2$ не входит в отрезок $[− 5;− 3]$ . Тогда для того, чтобы определить наименьшее значение функции на данном отрезке, нужно сравнить значения функции в критической точке и на концах отрезка:

y(− 5) = (− 5 + 4)2e−4+5 > 0

y(− 3) = (− 3 + 4)2e−4+3 > 0

y(− 4) = (− 4 + 4)2e−4+4 = 0

Значит, наименьшее значение функции на отрезке равно $y(− 4) = 0$ .

Ответ: 0

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#2554

Найдите наибольшее значение функции

y = (x + 10)2(x + 9) + 1

на отрезке $[− 12;− 9,5]$ .

Показать ответ и решение

Для того, чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно схематично изобразить график функции.
Для этого найдем производную:

′ ( 2)′ 2 ′ y = (x + 10) ⋅ (x + 9) + (x + 10) ⋅ (x + 9) = (x + 10)(3x + 28)

Найдем нули производной: $y′ = 0$ , следовательно, $x = − 10$ или $x = − 28 3$ .
Отметим нули на вещественной прямой и найдем знаки производной:

$PIC$

Следовательно, схематично график функции выглядит следующим образом:

$PIC$

Следовательно, наибольшее значение на отрезке $[− 12; − 9,5 ]$ функция принимает в точке максимума $x = − 10 max$ и оно равно:

y (− 10 ) = 1

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#1654

Найдите наибольшее значение функции $y = (− 5x + 1) ⋅ ex ⋅ ex ⋅ e0,6 − 2$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = − 5 ⋅ ex ⋅ ex ⋅ e0,6 + (− 5x + 1 ) ⋅ ex ⋅ ex ⋅ e0,6 + (− 5x + 1) ⋅ ex ⋅ ex ⋅ e0,6 = (− 10x − 3) ⋅ e2x+0,6$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ 2x+0,6 y = 0 ⇔ (− 10x − 3) ⋅ e = 0 ⇔ x = − 0,3

(так как $et > 0$ при любом $t$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = − 0,3$ – точка максимума функции $y$ .
$0 y(− 0,3) = 2,5 ⋅ e − 2 = 0,5$ ,

Итого: наибольшее значение функции $y$ равно $0,5$ .

Ответ: 0,5

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#328

Найдите наименьшее значение функции $y = (x2 − 14x+ 34)ex$ на отрезке $[0;2,5].$

Показать ответ и решение

1) Найдем производную:

′ x x 2 y =(2x− 14)e + e(x − 14x+ 34)= = ex(x2 − 12x+ 20)

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):

y′ = 0 ex(x2− 12x+ 20)= 0 2 x − 12x+ 20= 0

Отсюда находим корни $x1 = 2,$ $x2 = 10.$ Таким образом,

′ x y = e (x − 2)(x− 10)

Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ и промежутки монотонности $y :$

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ и промежутки монотонности $y$ на отрезке $[0;2,5]:$

$PIC$

4) Эскиз графика $y$ на отрезке $[0;2,5]:$

$PIC$

Таким образом, $x = 2$ — точка локального максимума функции $y$ и наименьшего значение на отрезке $[0;2,5]$ функция достигает в точке $x = 0$ или в точке $x = 2,5.$ Сравним значения функции в этих точках:

0 y(0)= 34⋅e = 34 y(2,5)= (6,25− 35+ 34)e2,5 =5,25⋅e2,5

Так как $e> 2,7,$ то

5,25 ⋅e2,5 > 5,25⋅2,72,5 >5,25⋅2,72 = 38,2725 >34 = y(0)

Тогда наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[0;2,5]$ равно 34.

Ответ: 34

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#327

Найдите наименьшее значение функции $y = (− 2x + 1) ⋅ e−x ⋅ e1,5$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = − 2e −x ⋅ e1,5 − (− 2x + 1) ⋅ e−x ⋅ e1,5 = (2x − 3) ⋅ e−x+1,5$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ −x+1,5 y = 0 ⇔ (2x − 3) ⋅ e = 0 ⇔ x = 1,5

(так как $et > 0$ при любом $t$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 1,5$ – точка минимума функции $y$ .
$0 y(1,5 ) = − 2 ⋅ e = − 2$ ,

Итого: наименьшее значение функции $y$ равно $− 2$ .

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#326

Найдите наибольшее значение функции $1 y = (3x + 2) ⋅ e−x ⋅ e3$ .

Показать ответ и решение

1) $1 1 1 y′ = 3e−x ⋅ e3 − (3x + 2) ⋅ e−x ⋅ e 3 = (− 3x + 1) ⋅ e− x+ 3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ −x+1 1 y = 0 ⇔ (− 3x + 1) ⋅ e 3 = 0 ⇔ x = 3-

(так как $et > 0$ при любом $t$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $1 x = -- 3$ – точка максимума функции $y$ .
$( ) y 1- = 3 ⋅ e0 = 3 3$ ,

Итого: наибольшее значение функции $y$ равно $3$ .

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#325

Найдите наименьшее значение функции $y = (2 − x ) ⋅ e−x ⋅ e3 − 2$ .

Показать ответ и решение

1) $y′ = − e −x ⋅ e3 − (2 − x) ⋅ e−x ⋅ e3 = (x − 3) ⋅ e− x+3$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

′ −x+3 y = 0 ⇔ (x − 3) ⋅ e = 0 ⇔ x = 3

(так как $et > 0$ при любом $t$ и на неё можно поделить). Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ :

$PIC$

3) Эскиз графика $y$ :

$PIC$

Таким образом, $x = 3$ – точка минимума функции $y$ .
$0 y(3) = − 1 ⋅ e − 2 = − 3$ ,

Итого: наименьшее значение функции $y$ равно $− 3$ .

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#2703

Найдите наименьшее значение функции $y = (0, 5x2 − 6,5x + 13,25)e2x+3$ на отрезке $[− 1, 5;2,5]$ .

Показать ответ и решение

1)

y′ = (x − 6,5)e2x+3 + 2e2x+3 (0, 5x2 − 6,5x + 13,25) = e2x+3(x2 − 12x + 20).

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

2x+3 2 2 e (x − 12x + 20) = 0 ⇔ x − 12x + 20 = 0

(так как при любом $x$ выражение $e2x+3 > 0$ ), откуда находим корни $x = 2, x = 10 1 2$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $′ y$ на рассматриваемом отрезке $[− 1, 5;2,5]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[− 1,5;2, 5]$ :

$PIC$

Таким образом, наименьшее значение на отрезке $[− 1,5;2,5]$ функция $y$ достигает или в $x = − 1, 5$ , или в $x = 2,5$ . Сравним эти значения:

$y(− 1, 5) = (0, 5 ⋅ 2,25 + 6, 5 ⋅ 1,5 + 13, 25)e−3+3 = 24,125 ⋅ e0 = 24,125$ ,

$y(2,5) = (0,5 ⋅ 6,25 − 6,5 ⋅ 2,5 + 13,25)e5+3 = 0,125 ⋅ e8$ .

Остаётся сравнить данные значения: так как $e > 2$ , то $0,125 ⋅ e8 > 0,125 ⋅ 28 = 32 > 24, 125$ . Итого: $24,125$ – наименьшее значение функции $y$ на отрезке $[− 1,5;2,5]$ .

Ответ: 24,125

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#2702

Найдите наименьшее значение функции $y = e−10(ln x − 11)x$ на $[e9;e12]$ .

Показать ответ и решение

ОДЗ: $x > 0$ . Решим на ОДЗ:

Заметим, что $e−10$ - просто число, тогда

1) $y ′ = e−10((ln x − 11)′ ⋅ x + (ln x − 11) ⋅ x ′) = e−10(1 + ln x − 11) = e− 10(lnx − 10 )$ .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна $0$ или не существует):

y′ = 0 ⇔ e −10(ln x − 10) = 0 ⇔ (ln x − 10) = 0

(так как $−10 e > 0$ и на это число можно поделить), откуда находим корень $10 x = e$ . Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ :

$PIC$

3) Найдём промежутки знакопостоянства $y′$ на рассматриваемом отрезке $[e9;e12]$ :

$PIC$

4) Эскиз графика на отрезке $[e9;e12]$ :

$PIC$

Таким образом, $10 x = e$ - точка минимума функции $y$ на $9 12 [e ;e ]$ и наименьшее значение функция достигает в ней.

$y(e10) = e− 10(10 − 11)e10 = − 1$ .

Итого: $− 1$ – наименьшее значение функции $y$ на $[e9;e12]$ .

Ответ: -1