Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Выпишем ОДЗ:
1) Обозначим тогда
Найдем производную функции по
Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:
Отсюда При этом производная существует всюду на ОДЗ.
Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.
2) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности
3) Эскиз графика
Таким образом, наименьшее значение функции достигается в точке минимума
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Найдем ОДЗ: — любое число.
1) Найдем производную:
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует):
2) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности :
3) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности на отрезке
:
4) Эскиз графика на отрезке :
Таким образом, наименьшего на отрезке значения функция достигает в точке .
Тогда — наименьшее значение функции на отрезке .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем ОДЗ: — любое число.
1) Найдем производную:
Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:
Производная существует при любом
2) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности
Здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной.
3) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности на отрезке
4) Эскиз графика на отрезке
Таким образом, наименьшего на отрезке значения функция достигает в точке минимума
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Основания показательной и логарифмической функций больше единички, следовательно, функции возрастающие и для них справедлив закон: чем больше аргумент функции, тем больше её значение.
Нам требуется найти минимальное значение сложной функции, значит, найдя минимальное значение суммы показательной и логарифмической функций по их минимальным аргументам, мы автоматически найдём ответ.
Рассмотрим аргументы показательной и логарифмической функций:
Минимальное значение суммы квадрата и фиксированного числа равно этому фиксированному числу, так как кнаименьшее значение квадрата равно нулю, и оно достигается в точке с абсциссой
Таким образом, сумма значений показательной и логарифмической функций (то есть значение сложной функции) минимальна при
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Сделаем замену
По сути перед нами уравнение параболы ветвями вниз, максимальное значение достигается в вершине параболы:
Но лежит ли точка, в которой и на отрезке
Выразим
Поскольку то логично, что То есть точка максимума функции как раз лежит на отрезке
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение функции
Функция логарифма монотонно возрастает: чем больше её аргумент тем больше её значение.
То есть для нахождения максимального значения функции надо найти максимальное значение выражения в аргументе логарифма.
— квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине этой параболы с абсциссой
Таким образом, наибольшее значение
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Способ 1.
Функцию можно переписать в виде
Эта функция является композицией двух функций: возрастающей и возрастающей при и убывающей при функции
Следовательно, исходная функция возрастает при и убывает при то есть является точкой минимума.
Следовательно, в этой точке достигается наименьшее значение функции:
P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.
Способ 2.
Функция определена при всех Исследуем функцию и найдем ее промежутки возрастания и убывания, для этого найдем ее производную:
Найдем нули производной:
Нули производной и точки, в которых она не существует, разбивают область
определения производной на промежутки, на каждом из которых она непрерывна и
принимает значения одного знака. Найдем знаки производной на каждом из таких
промежутков:
При производная отрицательна, то есть функция убывает; при производная положительна, то есть функция возрастает. Следовательно, является точкой минимума и наименьшего значения функция достигает в этой точке:
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции
Преобразуем исходную функцию:
Заметим, что Значит,
Мы доказали, что Значит, если мы докажем, что существует такая точка что то 3 будет наименьшим значением функции
Для этого найдем точку, в которой
Пусть тогда
Значит, наименьшее значение функции равно 3.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наименьшее значение функции на отрезке
Найдем критические точки функции Для этого посчитаем производную:
Теперь найдем нули производной:
При этом то есть данная точка лежит на отрезке
Наименьшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума или на концах отрезка. Сравним значения функции во всех таких точках:
Следовательно, график функции на отрезке выглядит так:
Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
1) Найдем производную:
Найдём критические точки, то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна 0 или не существует:
Производная существует при любом
2) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности
3) Найдём промежутки знакопостоянства и промежутки монотонности на отрезке
4) Эскиз графика на отрезке
Таким образом, наибольшего на отрезке значения функция достигает в точке или в точке Сравним значения функции в этих точках:
Тогда наибольшее значение функции на отрезке равно 2.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение функции
1) Обозначим , тогда .
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна или не существует):
2) Найдём промежутки знакопостоянства :
3) Эскиз графика:
Таким образом, – точка максимума функции и наибольшее значение достигается в
ней:
.
Итого: – наибольшее значение функции .
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение функции на отрезке
Найдем критические точки функции Для этого посчитаем производную:
Теперь найдем нули производной:
При этом то есть данная точка лежит на отрезке
Наибольшее значение функции на отрезке достигается в точке экстремума или на концах отрезка. Сравним значения функции во всех таких точках:
Таким образом, наибольшее значение функции на отрезке равно 7.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Найдите наибольшее значение функции
.
1) Обозначим , тогда .
Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна или не существует):
2) Найдём промежутки знакопостоянства : (их бесконечно много, но они чередуются)
3) Эскиз графика:
Таким образом, – точки локальных максимумов функции и наибольшее значение
достигается в одной из них:
.
Итого: – наибольшее значение функции .