Нетипичные задачи —Каталог задач по ЕГЭ - Математика

Тема 12. Исследование функций с помощью производной

12.13 Нетипичные задачи

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела исследование функций с помощью производной

Решаем задачи

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#32505

Найдите наименьшее значение функции

∘-2-------- y = x − 6x+ 13

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x− 3) +4

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x <3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 4$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 3$ , и оно равно

∘ --------- √- y(3)= (3− 3)2+ 4= 4= 2

P.S. Композиция двух возрастающих или двух убывающих функций — возрастающая, а возрастающей и убывающей — убывающая.

Ответ: 2

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 2#32504

Найдите точку минимума функции

∘-2-------- y = x − 6x+ 11

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x− 3) +2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x <3$ функции $2 y2 = (x− 3) + 2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 3#32501

Найдите точку минимума функции

∘-2-------- y = x + 6x+ 12

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ----2---- y = (x+ 3) +3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x> −3$ и убывающей при $x < −3$ функции $2 y2 = (x+ 3) + 3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> −3$ и убывает при $x< −3$ , то есть $x= −3$ является точкой минимума.

Ответ: -3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 4#32500

Найдите точку максимума функции

∘ ---------2- y = −6+ 12x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘-------2--- y = − (x − 6) +30

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< 6$ и убывающей при $x >6$ функции $2 y2 = −(x− 6) +30$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 6$ и убывает при $x >6$ , то есть $x= 6$ является точкой максимума.

Ответ: 6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 5#32498

Найдите точку максимума функции

∘ -------2- y = 4− 4x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ------2--- y = −(x+ 2) + 8

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< −2$ и убывающей при $x > −2$ функции $2 y2 = −(x+ 2) +8$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −2$ и убывает при $x> −2$ , то есть $x= −2$ является точкой максимума.

Ответ: -2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 6#32496

Найдите наибольшее значение функции

∘ -------2- y = 5− 4x − x

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

∘ ------2--- y = −(x+ 2) + 9

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $√ - y1 = x$ и возрастающей при $x< −2$ и убывающей при $x > −2$ функции $2 y2 = −(x+ 2) +9$ .

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

√---- y(−2)= 0+ 9= 3

Ответ: 3

Курсы

Всё необходимое для достижения цели

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 7#32531

Найдите наименьшее значение функции

2x x y = e − 6e + 3

на отрезке $[1;2]$

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

x 2 x x 2 y = (e ) − 6e + 3= (e − 3) − 6

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей при $x> 3$ и убывающей при $x< 3$ функции $y2 =(x− 3)2 − 6$ и возрастающей $y1 = ex$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $ex >3 ⇔ x> ln3$ и убывает при $ex < 3 ⇔ x< ln3$ , то есть $x= ln3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= ln 3∈[1;2]$ , и оно равно

2 y(ln3)=(3− 3) − 6= −6

Ответ: -6

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 8#32511

Найдите наибольшее значение функции

2 y =log5(4− 2x− x )+ 3

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y = log5(−(x+ 1) +5)+ 3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x+ 3 5$ и возрастающей при $x< −1$ и убывающей при $x >− 1$ функции $y2 = −(x+ 1)2+ 5$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −1$ и убывает при $x> −1$ , то есть $x= −1$ является точкой максимума.

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

2 y(−1)= log5(− (−1 +1) +5)+ 3= log55+ 3= 4

Ответ: 4

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 9#32510

Найдите наибольшее значение функции

−7−6x−x2 y = 3

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

−(x+3)2+2 y = 3

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =3x$ и возрастающей при $x < −3$ и убывающей при $x> −3$ функции $y2 = −(x+ 3)2 +2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< −3$ и убывает при $x> −3$ , то есть $x= −3$ является точкой максимума.

Следовательно, в ней достигается наибольшее значение, и оно равно

−(−3+3)2+2 2 y(−3)= 3 = 3 = 9

Ответ: 9

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 10#32509

Найдите наибольшее значение функции

2 y = log 13(x + 6x+ 12)

на отрезке $[−19;−1].$

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y =log13((x+ 3)+ 3)

Эта функция является композицией двух функций: убывающей $y1 =log13 x$ и возрастающей при $x >− 3$ и убывающей при $x< −3$ функции $2 y2 = (x+ 3) + 3$ .

Следовательно, так как эта точка принадлежит отрезку $[−19;−1]$ , в ней и достигается наибольшее значение, и оно равно

y(− 3)= log13((−3+ 3)2+ 3)= log13 3= −1

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 11#32508

Найдите наименьшее значение функции

x2−2x+3 y = 7

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

(x−1)2+2 y =7

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 = 7x$ и возрастающей при $x> 1$ и убывающей при $x< 1$ функции $y2 = (x− 1)2+ 2$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 1$ и убывает при $x <1$ , то есть $x= 1$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 1$ , и оно равно

(1−1)2+2 2 y(1)= 7 = 7 = 49

Ответ: 49

Интенсивы

Глубокий разбор тем, требующих дополнительного внимания

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 12#32507

Найдите наименьшее значение функции

x2+2x+5 y = 2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

(x+1)2+4 y =2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =2x$ и возрастающей при $x > −1$ и убывающей при $x< −1$ функции $y2 = (x+ 1)2+ 4$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> −1$ и убывает при $x< −1$ , то есть $x= −1$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= −1$ , и оно равно

(−1+1)2+4 4 y(−1)= 2 = 2 = 16

Ответ: 16

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 13#32506

Найдите наименьшее значение функции

2 y = log3(x − 6x+ 10)+2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y =log3((x − 3) +1)+ 2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x+2 3$ и возрастающей при $x > 3$ и убывающей при $x< 3$ функции $y2 = (x− 3)2+ 1$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Следовательно, наименьшего значения функция достигает в точке $x= 3$ , и оно равно

2 y(3)=log3((3− 3) + 1)+ 2= log31+ 2= 2

Ответ: 2

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 14#32503

Найдите точку минимума функции

2 y = log5(x − 6x+ 12)+2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y =log5((x − 3) +3)+ 2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x+2 5$ и возрастающей при $x > 3$ и убывающей при $x< 3$ функции $y2 = (x− 3)2+ 3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x> 3$ и убывает при $x <3$ , то есть $x= 3$ является точкой минимума.

Ответ: 3

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 15#32502

Найдите точку минимума функции

x2+2x+3 y = 7

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

(x+1)2+2 y =7

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =7x$ и возрастающей при $x > −1$ и убывающей при $x< −1$ функции $y2 = (x+ 1)2+ 2$ .

Ответ: -1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 16#32499

Найдите точку максимума функции

6x−x2 y = 11

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

−(x−3)2+9 y =11

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =11x$ и возрастающей при $x <3$ и убывающей при $x> 3$ функции $y2 = −(x− 3)2 +9$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 3$ и убывает при $x >3$ , то есть $x= 3$ является точкой максимума.

Ответ: 3

Бандлы и наборы

Комбо-тарифы сразу по нескольким предметам

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 17#32497

Найдите точку максимума функции

2 y =log2(2+ 2x− x )− 2

Показать ответ и решение

Функцию можно переписать в виде

2 y = log2(−(x− 1) +3)− 2

Эта функция является композицией двух функций: возрастающей $y1 =log x− 2 2$ и возрастающей при $x < 1$ и убывающей при $x> 1$ функции $y2 = −(x− 1)2 +3$ .

Следовательно, исходная функция возрастает при $x< 1$ и убывает при $x >1$ , то есть $x= 1$ является точкой максимума.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 18#80088

Найдите наименьшее значение функции

y = log (x2 − 10x+ 26)+ 2x2−10x+25. 2

Показать ответ и решение

Основания показательной и логарифмической функций больше единички, следовательно, функции возрастающие и для них справедлив закон: чем больше аргумент функции, тем больше её значение.

Нам требуется найти минимальное значение сложной функции, значит, найдя минимальное значение суммы показательной и логарифмической функций по их минимальным аргументам, мы автоматически найдём ответ.

Рассмотрим аргументы показательной и логарифмической функций:

x2 − 10x + 25 = (x− 5)2,

x2 − 10x+ 26 = x2 − 10x+ 25 + 1 = (x− 5)2 + 1.

Минимальное значение суммы квадрата и фиксированного числа равно этому фиксированному числу, так как кнаименьшее значение квадрата равно нулю, и оно достигается в точке с абсциссой $x = 5.$

Таким образом, сумма значений показательной и логарифмической функций (то есть значение сложной функции) минимальна при $x = 5 :$

y(5) = log2(52 − 50 + 26) +252−50+25 = log2 1+ 20 = 0 + 1 = 1.

Ответ: 1

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 19#75430

Найдите сумму двух наименьших положительных абсцисс точек экстремума функции $y = − cosx+ sinx+ x.$ Ответ округлите до целых.

Показать ответ и решение

Вычислим производную функции:

y′ = sinx + cosx+ 1.

Приравняем производную $y′$ к нулю и найдём критические точки производной (вспомним метод вспомогательного угла и разделим всё уравнение на $√ - 2$ ):

cosx+ sinx+ 1 = 0,

cosx+ sin x = − 1,

√1- √1- √1- 2 cosx+ 2 sinx = − 2,

π π 1 sin --cosx+ cos--sinx = − √--, 4 4 2

(π- ) -1- sin 4 + x = − √2 ,

$⌊ π π | 4 + x = − 4 + 2πn,n ∈ ℤ, ⌈π 3π 4-+ x = −-4-+ 2πn,n ∈ ℤ.$

$⌊ x = − π-+ 2πn,n ∈ ℤ, ⌈ 2 x = − π + 2πn,n ∈ ℤ.$

Расположим абсциссы точек экстремума на числовой прямой:

$PIC$

Сумма двух наименьших положительных абсцисс точек экстремума равна $π + 32π= 5π2-≈ 7,853...$

После запятой стоит цифра 8, а значит, при округлении до целых округляем в бОльшую сторону.

Ответ: 8

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 20#74179

Найдите наибольшее значение функции $y = log9(− 2x2− 8x +1)− 10.$

Показать ответ и решение

Функция логарифма $y = log9g(x)$ монотонно возрастает: чем больше её аргумент $g(x),$ тем больше её значение.

То есть для нахождения максимального значения функции $y$ надо найти максимальное значение выражения $2 g(x) =− 2x − 8x+ 1$ в аргументе логарифма.

$2 g(x)= −2x − 8x+ 1$ — квадратичная функция, ее график — парабола с ветвями вниз. Максимальное значение достигается в вершине этой параболы с абсциссой

x0 = −-(−-8)= −2, − 2⋅2

gmax(x0)= − 2⋅4− 8⋅(−2)+ 1= 9.

Таким образом, наибольшее значение $y :$

ymax(x0)= log9(9)− 10= − 9.

Ответ: -9

Предыдущий раздел

Следующий раздел