На продолжении отрезка за точку выберем точку так, что Тогда

Следовательно, треугольники и равны по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Заметим, что

Таким образом, треугольник равнобедренный и

Проведём через пару скрещивающихся рёбер тетраэдра две параллельные плоскости. Так же поступим для двух других пар скрещивающихся рёбер и получим параллелепипед. Диагонали его граней равны между собой, поэтому все грани — прямоугольники, и параллелепипед прямоугольный. Пусть — его центр, являющийся также центром описанной сферы тетраэдра Пусть также — точки, симметричные соответственно относительно точки Докажем, что все построенные прямые проходят через точку

Пусть — центр масс треугольника . Тогда

То есть точка лежит на диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Аналогично центр масс треугольника лежит на этой диагонали и делит её в отношении , считая от вершины Точка — середина отрезка поэтому

Рассмотрим проекцию на плоскость — проекция точки , — проекция центра Точка совпадает с центром описанной сферы тетраэдра поэтому — центр описанной окружности треугольника

Тогда прямая проецируется в прямую Эйлера треугольника Пусть Тогда ( делит отрезок в отношении , это отношение сохраняется при проецировании). Кроме того, лежат на одной прямой и (прямая Эйлера), отсюда Следовательно, , а прямая , перпендикулярная плоскости , делит отрезок пополам, а значит, совпадает с прямой . Итак, все построенные прямые проходят через точку .

Пусть сторона основания пирамиды с вершиной равна , а боковое ребро равно . Для построения проекции достаточно рассмотреть две пары скрещивающихся ребер, например, и , проекции которых являются сторонами параллелограмма

Пусть — общий перпендикуляр пары рёбер и , а — общий перпендикуляр скрещивающихся рёбер и . Плоскость проекции параллельна как , так и , поскольку ортогональной проекцией пирамиды является параллелограмм. Отрезки и проектируются на плоскость без изменения длины в высоты параллелограмма и , так как и обе перпендикулярны и будут параллельны друг другу, т.к. — параллелограмм. То есть не просто общий перпендикуляр и , но и общий перпендикуляр двух вышеописанных плоскостей. А значит, ещё это и общий перпендикуляр для и

Поскольку пирамида правильная, . Следовательно,

В параллелограмме высоты, проведённые к смежным сторонам, равны. Значит, параллелограмм является ромбом.

Пусть ребро наклонено к плоскости под углом , тогда ребро , которое перпендикулярно , наклонено под углом Отсюда

Обозначим . Тогда .

Найдём расстояние между скрещивающимися рёбрами правильной треугольной пирамиды как высоту сечения :

откуда

Тогда синус острого угла пирамиды равен . Подставляя найденные выражения и данное в условии значение , получим , откуда (что невозможно) или

Площадь боковой поверхности пирамиды равна

Подставив и , найдём

Объём правильной пирамиды равен

Поскольку у параллелепипедов ребра соответственно параллельны, мы можем ввести декартову систему координат, направив оси вдоль трех ребер, смежных с одной вершиной (которая станет началом координат) выбранного параллелепипеда. В этой системе координат ребра всех параллелепипедов будут параллельны осям. Спроектировав на ось Ох данный -ый параллелепипед получим отрезок, который обозначим Любая пара таких отрезков имеет непустое пересечение (в противном случае соответствующая пара параллелепипедов не пересекается).

Таким образом, приходим к такой задаче: на числовой прямой есть попарно пересекающиеся отрезки и требуется доказать, что у них имеется общая точка. Опытные олимпиадники могут сразу сослаться на теорему Хелли. Мы же приведём её доказательство, чтобы не оставлять у неопытных читателей чувство неловкости.

Пусть – наибольшее значение среди левых концов отрезков, т.е. и аналогично, пусть — наименьшее значение среди правых концов отрезков. Тогда так как в противном случае для некоторых и а значит, -ый и -ый отрезки не пересекаются. Отсюда следует, что любая точка отрезка будет общей для всех наших отрезков. Итак, пусть точка принадлежит проекциям на ось Ох всех параллелепипедов. Точно так же мы можем найти общие точки и проекций на оси Oy и Oz. Тогда точка с координатами будет принадлежать всем параллелепипедам.

Пусть - середина - центр основания Тогда центр описанной сферы лежит на (поскольку пирамида правильная). Проекция строится как середина проекции а проекция – как точка, делящая проекцию в отношении Обозначим через прямую, параллельную и проходящую через середину Она проходит через центр описанной сферы: и перпендикулярны так что перпендикулярна а также пересекает Проекция строится как параллельный перенос проекции проходящий через середину проекции Эта проекция пересекает проекцию ровно в проекции центра описанной сферы.

Для отслеживания движения жучка будем использовать частичную развертку куба, покрывающую грани. Каждый квадратик будем обозначать двузначным числом, 1-я и 2-я цифры которого являются соответствующими координатами центра квадратика на развертке (единица — ширина квадратика):

Маршрут жучка определяется его начальным положением и направлением его первого перемещения. Хотя всего таких вариантов их все можно разбить на принципиально различных групп:

1) Жучок стартует с центрального квадратика любой грани по направлению к любому ребру

2-3) Старт с углового квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

4-5) Старт с углового квадратика любой грани, а при первом перемещении жучок переползает на соседнюю грань, причем третья примыкающая грань остается соответственно справа или слева от него

6) Старт с приреберного квадратика любой грани по направлению к центру

7) Старт с приреберного квадратика любой грани с переходом на соседнюю грань при первом перемещении

8-9) Старт с приреберного квадратика любой грани, а первое перемещение в пределах той же грани вдоль ребра, идущего соответственно справа или слева от жучка

Заполним таблицу, в которой для каждой группы приведем пример маршрута в течение того времени, когда обнаруживается его периодичность, т.е. когда на какой-либо четной секунде жучок оказывается на начальном квадратике, а еще через с — на квадратике, где он был через с после начала движения.

В случае группы выберем для старта квадратик с первым перемещением и проследим весь маршрут, пока не обнаружим, что его период равен c (1-я колонка таблицы после двойной вертикальной черты).

Заметим, что через c после начала движения жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому для нее маршрут также будет иметь период с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с жучок окажется в начальном состоянии группы Поэтому и для нее маршрут будет с периодом с и его можно получить из маршрута группы сдвигом на с.

Еще через с имеем начальное состояние группы и получаем ее маршрут с периодом с из маршрута группы сдвигом на с.

Для остальных групп получаются кольцевые маршруты с периодом с, причем в течение одного периода жучок ни на одном квадратике не оказывается дважды.

Так как (остаток от деления на равен ) и (остаток от деления на равен то через с после начала движения жучок окажется на том же квадратике, на котором он был через с после начала, а за с до этого — на том же квадратике, на котором он был через с после начала.

Как видно из таблицы, такое совпадение имеет место только для группы (квадратик Так как этот квадратик встречается на маршруте только дважды в течение периода ( с и с), следующее попадание на него произойдет через (с).

Пусть и — середины ребер и соответственно. Из соображений симметрии ясно, что ребрами и отрезками линия, о которой идет речь в условии задачи разбивается на 8 равных. Поэтому достаточно рассмотреть точки, принадлежащие треугольнику .

Пусть - одна из таких точек. Тогда кратчайшим путем между и служит отрезок , а кратчайшим путем между и - двухзвенная ломаная , вершина которой принадлежит ребру (в случае имеем просто отрезок . На развертке тетраэдра объединение граней и представляет собой ромб , а ломаная - отрезок в нем. Условие означает, что лежит на серединном перпендикуляре к отрезку ; следовательно геометрическим местом точек служит отрезок , где - середина ребра (и середина отрезка ) - точка на отрезке , (см рисунок).

Найдем длину отрезка . Легко видеть, что , а отрезок , будучи средней линией треугольника , имеет длину . Поэтому

Умножив это число на 8, получим ответ к задаче:

Точки и симметричные относительно биссекторных плоскостей, лежат в плоскости А поскольку тройка этих биссекторных плоскостей переходит в себя при повороте на вокруг оси пирамиды, то этим свойством обладает и тройка точек Следовательно, треугольник — правильный, и его центр, который мы обозначим через совпадает с центром треугольника

Заметим, далее, что пирамида —- образ пирамиды при гомотетии с центром и коэффициентом С учётом условия задачи это означает, что отношение объёмов пирамид и равно А поскольку у этих пирамид общая высота то и отношение площади треугольника к площади треугольника равно В качестве следствия получается равенство которое будет нами использовано.

Обозначив величину двугранного ребра при ребре через , точкой, симметричной относительно соответствующей биссекторной плоскости будем считать

Тогда где — середина ребра ; треугольник — равнобедренный откуда

А поскольку

то

При левая часть последнего равенства равна что позволяет найти

Достроим тетраэдр до параллелепипеда. Тогда и - диагонали двух противоположных граней параллелепипеда. Пусть и - стороны этих граней, причём По теореме косинусов и поэтому Записав такие равенства для чисел и получим требуемое.

Минимизируем длину пути с помощью развёртки куба. По неравенству ломаной сумма длин отрезков будет минимальна, если их концы лежат на одной прямой.

Если путь идёт только по , и , то длина по этим двум граням будет . Если путь идёт только по и , то длина по этим двум граням будет . Аналогично по граням , и или и , а других вариантов нет.

Отметим на развертке точки, которые склеются при сборке кубика, одним цветом, а так же перенумеруем грани.

Как видно, красная вершина — вершина принадлежащая , и граней, — а так же синяя вершина — вершина принадлежащая , и граней, — не являются концами отрезков, нарисованных на второй и четвертых гранях, а значит картинка (а) не соответствует этой развертке.

Также не являются концами отрезков, нарисованных на второй и четвертых гранях, вершины, принадлежащие и граням, а значит кубик (б) имеет другую развертку.

На пятой грани три точки соответствуют диагонали, один из концов которой — оранжевая вершина. Значит, на рисунке (г) спереди сверху изображена зеленая вершина. Зеленая вершина находится слева от грани 6 на развертке, но справа на рисунке кубика, а занчит, этот кубик не соответсвует этой развертке.

Остается кубик под буквой (в).

Рассмотрим куб со стороной . Отметим у него две вершины на диагонали одной из граней (скажем, верхней грани) и две вершины на диагонали параллельной (нижней) грани, непараллельной первой диагонали. Полученные вершины образуют правильный тетраэдр со стороной , что и задано в условии. Теперь отметим, что проекция каждой грани куба — параллелограмм, в котором диагонали равны проекциям рёбер тетраэдра. А по тождеству параллелограмма сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов сторон, откуда следует равенство суммы квадратов проекций сторон тетраэдра аналогичной сумме для сторон куба.

Итак, будем рассматривать куб. Пусть прямая , перпендикулярная плоскости, образует с рёбрами куба углы . Тогда длины проекций рёбер равны . Заметим, что — это длины перпендикуляров из вершины единичного вектора (коллинеарного прямой ) на оси, то есть длины проекций вектора на координатные плоскости. Отсюда сумма их квадратов равна единице. Из равенства для косинусов следует . Поскольку каждая проекция встречается ровно по раза, то в итоге сумма длин проекций равна , что и требовалось.

Рассмотрим и . Тогда для произвольной ( получается из поворотом на относительно ). Но отсюда нам надо найти минимум , который достигается только при и будет равен , то есть

Рассмотрим треугольник . Высота, опущенная из вершины , равна 4 , следовательно, высота , опущенная из вершины , равна 24/5. Отсюда получаем , . Пусть - середина . Тогда

Пусть - середина . Тогда и, стало быть, . Аналогично, . Рассмотрим плоскость, содержащую и параллельную . Спроецируем ортогонально на эту плоскость точки и . Полученные точки обозначим и . Точка при этом проецируется в точку . Стало быть, искомый угол равен . Из прямоугольного треугольника получаем

Отметим точку в качестве вершины пирамиды, точку в качестве центра , точку в качестве центра описанной окружности треугольника и в качестве середины . Так как равносторонний, то это еще и центр пересечения медиан, а значит, проходит через и и . Так как проходит через вершины треугольника и касается отрезка в точке , то и . Мы знаем, что и поэтому . Получается, что мы знаем, что точка лежит на плоскости , проходящей через и параллельной , и лежит на прямой , перпендикулярной и проходящей через . Значит, либо принадлежит , но тогда перпендикулярна двум разным прямым параллельным ( и ) и тогда все три стороны перпендикулярны основанию, а такого не бывает, либо и пересекаются в одной точке и . Тогда и (по формуле для равностороннего треугольника).

Спроецируем точки и на плоскость . Тогда так как проекция на это , то и поэтому . Также можно заметить .

Прямоугольные треугольники и равны по катету и гипотенузе, поэтому . Значит, высота в равнобедренном треугольнике равна , так как середина и равна . Тогда

Значит, . Тогда

Пусть — проекция на . Тогда и . С другой стороны, поскольку , то . Отсюда .

Рассмотрим систему координат с центром в основании высоты пирамиды, одну из осей направим вдоль самой высоты. Тогда длина проекции на эту ось, то есть соответствующая координата, каждого вектора будет равна нулю для рёбер из основания и иметь одинаковое по модулю значение для боковых рёбер — длина высоты с положительным или отрицательным знаком.

Чтобы сумма векторов была нулевой необходимо, чтобы сумма этих координат (соответствующая координата суммы) была равна нулю.

Пусть длина высоты равна и координат из ненулевых положительны, тогда эта координата равна

Но поскольку по чётности, а также из условия, значит, нулевой сумма векторов-рёбер быть не может.

(a) У нас есть 2 грани со стороной 2, но вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5?!

(b) У нас есть 2 грани со стороной 2. Вместе с 2 треугольник может образовать только 4 и 5 или 11,1 и 13. Значит противоположная сторона равна 9. Пусть нам дан тетраэдр и , , . Тогда и по неравенству треугольника для сторона . Значит последняя сторона . По формуле Герона площадь равна . Тогда если высота в этом треугольнике, то . По теореме Пифагора и . Отсюда следует, что лежит на отрезке

Аналогично, , высота в этом треугольнике длиной , , Значит, лежит на луче за точку . Отсюда

Вспомним, что у нас есть такое неравенство на

Оно выводится так: спроецируем всё на плоскость, перпендикулярную пусть — проекция , — проекция , — проекция и . Так как и перпендикулярны , то и Значит, проекция на эту плоскость длиной от до , а проекция на прямую это Значит,

Подставим числа и получится, что так как , а , то